§ 2. Моделирование свободного пробега

2.1. Закон распределения длины свободного пробега.

Предположим, что вдоль оси движется некоторая элементарная частица (нейтрон, фотон, протон и т. п.), которая может сталкиваться с частицами (обычно с ядрами атомов) среды. всех исследованиях, явно или неявно, фигурирует следующее предположение: вероятность того, что частица, долетевшая до точки испытает столкновение в интервале равна

Множитель пропорциональности 2 называется полным сечением или подробнее: полным макроскопическим эффективным сечением взаимодействия частицы со средой. Значение 2 зависит как от состояния среды в точке х, так и от типа и энергии частицы.

Формулу (5) можно считать определением полного сечения. Вполне аналогично определяются сечения различных типов взаимодействия (различных реакций), которые могут произойти при столкновении частицы. Например, сечение рассеяния, сечение деления и др. Такие сечения иногда называют парциальными сечениями.

Рис. 58.

Рассмотрим теперь частицу, вылетевшую вдоль оси из точки (рис. 58). Обозначим через g случайную длину свободного пробега этой частицы,

а через функцию распределения , так что

Вероятность того, что частица испытает первое столкновение в интервале равна

(Здесь - вероятность того, что частица долегит до точки ) Разделив это соотношение на и перейдя к пределу при получим дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию легко записать:

Это и есть искомая функция распределения

Интеграл часто называют оптической длиной интервала . Из условия нормировки следует необходимое требование

Ядро столкновений в одногрупповой теории переноса.

В этой теории скорость частиц предполагается постоянной по абсолютной величине (но не по направлению) и не меняется во время свободного пробега. Поэтому фазовое пространство (см § 3 гл. 5) можно считать пятимерным , где — координаты частицы, единичный вектор направления скорости.

По определению это вероятность того, что после столкновения в точке фазового пространства частица испытает следующее столкновение в элементе около точки . Вероятность того, что частица при столкновении в Р рассеется, равна

Обозначим и в качестве координат точки выберем сферические координаты с центром в (рис. 59), так что элемент «физического» объема. Для того чтобы рассеянная частица могла попасть в элемент около точки , направление ее движения после рассеяния должно оказаться в конусе около направления со. Вероятность такого события выражается через индикатрису рассеяния и равна . Если это условие выполнено, и частица

рассеялась по направлению , то вероятность столкновения в интервале согласно (6), равна

Наконец, направление скорости Q (как независимая величина в фазовом пространстве) обязана совпадать с со и вероятность этого равна

Рис. 59.

Следовательно,

Введя сюда и сократив получим формулу