2.3. Метод существенной выборки для траекторий

В предыдущем пункте рассматривались траектории построенные по произвольным допустимым , но не было никаких указаний на то, как лучше выбирать эти плотности. Однако от их выбора зависят дисперсии определяющие точность метода Монте-Карло (31). Особенно нежелательна большая дисперсия тогда, когда начальное приближение близко к точному решению так как можно «испортить» это приближение.

Если функция известна, и интеграл вычисляется с помощью существенной выборки (гл. 3, п. 3.2), то минимальная дисперсия такой оценки, согласно теореме 3 гл. 3, равна

Теорема 3. Предположим, что ядро уравнения (25) и его решение неотрицательны

а траектории строятся с начальной плотностью

и с плотностью вероятностей перехода

Если начальное приближение равно решению то при любом

Доказательство. Если и выполнено равенство (34), то

В то же время при 2 из (29) следует, что

Следовательно, при любом значение зависит лишь от и, с учетом (33), равно Поэтому дисперсия равна

А так как из следует, что все то последнее выражение для совпадает с (32). Теорема доказана.

Как и в гл. 3, п. 3.2.1, плотности (33) и (34) с практически использовать нельзя, так как решение неизвестно. Однако, имея «хорошее» приближение мы можем (в принципе) выбрать и дисперсии будут близки к минимальным.

Если функция знакопостоянна, то очевидно,