1.2. Алгоритм с бесконечной конструктивной размерностью.

Такие алгоритмы встречаются довольно часто при моделировании физических задач. Например, в задаче о поглощении нейтронов (гл. 6, п. 1.1) траектория нейтрона может (теоретически) состоять из сколь угодно большого числа звеньев, так что нельзя указать заранее, сколько значений понадобится нам для реализации такой траектории.

Алгоритмы с к. р., равной получаются также при моделировании случайных величин методами отбора (гл. 2, § 5), когда количество значений у, используемых для реализации одного значения , случайно и (теоретически) может оказаться сколь угодно большим.

Пример. Рассмотрим снова вычисление интеграла (8). Предположим, что и значения вычисляются методом Неймана (гл. 2, п. 5 3):

если последнее неравенство выполнено, то пара случайных чисел отбрасывается и выбирается новая пара.

Нетрудно проверить, что в этом случае

где функция определяется следующими условиями:

где (для краткости) мы обозначили величину

(Конечно, при желании можно ввести единую нумерацию переменных). И в этом случае так что к.

Запишем (формально; строгое определение имеется в [82]) интеграл по бесконечномерному единичному кубу, в котором все

и докажем, что Для этого представим в виде бесконечной суммы интегралов по областям, в которых

Здесь каждый из интегралов вида

легко вычисляется с помощью замены и равен

где эффективность метода Неймана А каждый из «наружных» интегралов равен

Следовательно,

Реализация алгоритмов Монте-Карло с на практике затруднений не вызывает, если предполагать, что в расчете используются «настоящие» случайные числа . Иногда каждое испытание доводят до конца, и количество использованных случайных чисел оказывается конечным (хотя и случайным). Иногда расчет испытания прекращают после выполнения некоторого условия. Например, при решении интегрального уравнения можно

ограничиться конечным (фиксированным) числом членов ряда Неймана, а при использовании алгоритма п. 3.3 гл. 6 учесть условие обрыва . В этой ситуации мы по существу аппроксимируем алгоритм с алгоритмом с Величина зависит от допустимой погрешности расчета и может зависеть от общего количества испытаний N или даже от конкретных значений 7, использованных во время расчета. Поэтому оценка по иногда весьма затруднительна.

Значение к. р. играет важную роль, когда мы в качестве случайных значений у хотим использовать неслучайные (детерминированные) числа. В этом случае алгоритм с различными к. р. приходится рассматривать отдельно.