Упражнения к главе 3

1. Записать формулы для расчета методом Монте-Карло интеграла

от произвольной ограниченной функции . Область интегрирования G определена неравенствами

2. Требуется вычислить интеграл (55) от произвольной ограниченной функции по области G, расположенной между плоскостями сечение G плоскостью изображено на рис. 47.

Рис. 46.

Рис. 47.

Случайные точки в области G будем выбирать по формулам

Можно ли в качестве оценки для использовать среднее арифметическое

Если нет, то написать верную оценку, содержащую значения

3. Построить оценку с конечной дисперсией для вычисления интеграла

в случае, когда при при

4. Записать формулы для расчета интеграла

с помощью значений случайной величины , плотность которой равна Доказать, что если то диспеосия будет наименьшей при

5. Условно сходящийся интеграл

можно вычислить методом Монте-Карло с помощью оценки

где

Доказать, что

6. Рассмотреть симметризации функции

на интервале и выразить дисперсии через коэффициенты Фурье .

7. Рассмотреть функцию и доказать, что хотя, вообще говоря, но по отношению к простейшему методу Монте-Карло эти функции равносильны:

8. Требуется вычислить интеграл (12) от функции . Пусть - ортонормированные функции со средними значениями, равными нулю, т. е.

Рассмотрим семейство оценок для I

где независимые случайные точки с плотностью параметры.

Доказать, что дисперсия этой оценки минимальна тогда, когда

9. Случайная величина подчиняется биномиальному распределению: Случайные величины независимы. Требуется вычислить математическое ожидание ограниченной величины которое равно

Если все и , то количество слагаемых в этой сумме

Ясно, на современных ЭВМ такая сумма вычислена быть не может.

Построить простейший метод Монте-Карло для расчета и какой-нибудь алгоритм, соответствующий этому методу.