§ 3. Важнейшие способы построения хороших оценок (способы уменьшения дисперсии)

Из формулы (5) видно, что вероятная ошибка оценки (1) пропорциональна . Скорость убывания этой ошибки с ростом N невелика. Поэтому очень важно научиться выбирать для расчета интегралов такие вычислительные схемы или, другими словами, такие случайные величины §, для которых дисперсия по возможности мала. Часто способы построения таких схем называют способами уменьшения дисперсии, имея ввиду, что для этих способов дисперсия должна быть меньше, чем дисперсия простейшего метода Монте-Карло (п. 2.1).

3.1. Частичное аналитическое интегрирование.

Если часть задачи можно решить аналитически, то, используя это частичное решение, обычно удается построить метод

Монте-Карло для решения всей задачи с дисперсией, меньшей, чем (19). Правда, вообще говоря, построенные таким путем методы могут оказаться более трудоемкими и в конечном счете невыгодными.

Мы будем говорить об аналитическом интегрировании, хотя в некоторых случаях такую же роль может сыграть численное интегрирование, если точность этого интегрирования значительно выше, чем точность метода Монте-Карло.

3.1.1. Выделение главной части. Это весьма очевидный и весьма общий принцип, относящийся ко всем методам Монте-Карло: если главную часть задачи можно вычислить аналитически, то, как правило, выгодно считать методом Монте-Карло не всю задачу, а только «поправку» — разницу между всей задачей и главной частью. Уменьшение дисперсии при этом может оказаться очень значительным.

Пусть, например, требуется вычислить интеграл (12)

где , и имеется функция «близкая» к такая, что значение интеграла

известно. Тогда вместо оценки (14) можно использовать оценку

ибо математическое ожидание осредняемой величины

равно . Дисперсия Z в этом случае равна

Если настолько близка к , что

то, очевидно, и

Пример. Вычислить интеграл

рассмотренный в п. 2.3. Так как , то выберем (постоянное слагаемое на дисперсию не влияет). Согласно (23) получим расчетную формулу

Дисперсия осредняемой величины равна 1

и значительно меньше, чем в п. 2.3.

Общие правила выделения главной части указать трудно: в различных задачах это делается по-разному. Например, при расчете больших сцинтилляционных детекторов необходимо учитывать многократно рассеянные нейтроны (их вклад в световыход составляет до 10%). В. Г. Золотухину с сотрудниками [37] удалось добиться значительного увеличения точности метода Монте-Карло путем аналитического учета вклада нерассеянных и однократно рассеянных нейтронов.

В ряде областей физики используют теорию возмущений, которая позволяет оцепить решение сложной задачи по известному решению «близкой» простой задачи. Если рассчитывать методом Мопте-Карло не всю сложную задачу, а только интегралы теории возмущений, то можно значительно повысить точность результатов [57].