Упражнения к главе 5

1. Рассмотрим произвольную функцию из и решение уравнения (25), представимое в виде сходящегося ряда (28). Чтобы вычислить квадратичный функционал методом Монте-Карло, можно использовать пары независимых случайных траекторий (Л. В. Майоров, А. М. Суховой [49]).

а) Пусть две траектории типа строятся по плотностям

соответственно. Определим случайную величину зависящую от пары таких траекторий:

б) Пусть две траектории типа строятся по законам соответственно. Определим случайную величину зависящую от пары таких траекторий:

Доказать, что если выполнены условия теоремы 4, то

2. Доказать, что если плотности , по которым строятся траектории Тудовлетворяют условиям

и

(при любом то дисперсия

Указание. Воспользоваться неравенством (44).

3. Предположим, что функции

принадлежат соответственно и ряд Неймана для решения уравнения сходится. Доказать, что дисперсия оценки (39) конечна и равна

(В. Г. Золотухин, С. М. Ермаков [36]).

4. Интегральное уравнение

имеет решение

а) Доказать, что последовательные приближения (26) сходятся, если только интеграл конечен.

б) Пусть заданные интервалы, расположенные рнутри [0, 1], и требуется вычислить методом Монте-Карло п. 2.2

числа

в случае, когда начальное приближение Выписать все расчетные формулы, если начальная плотность а плотаость вероятностей перехода из в пропорциональна

Доказать, что в условиях п. 3.2 (расчет по истинным траекториям) можно для оценки вместо случайной величины

называемой оценкой по поглощениям, использовать случайную величину и называемую оценкой по столкновениям.

Указание. Получив выражение

использовать тождество

Рассмотрим квадратную матрицу все собственные значения которой удовлетворяют условию

Построить метод Монте-Карло для обращения матрицы В при помощи итераций матрицы . (Если все собственные значения матрицы В действительны и положительны, то условие (79) всегда выполнено при

В области рассмотрим дифференциальное уравнение теплопроводности

Требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям

Выберем прямоугольную сетку с шагом по по . Координаты узлов этой сетки а значения и обозначим и . Во всех внутренних узлах заменим дифференциальное уравнение разностным

которое, введя параметр можно переписать в форме

Условие устойчивости этого уравнения

Определить случайную цепь, аналогичную цепи из п. 5.5, для расчета методом Монте-Карло.