2.4. Использование замены переменных.

Во многих случаях удается упростить формулы моделирования многомерной случайной величины путем удачного выбора координат.

Правило преобразования плотности при преобразовании координат П усть взаимно однозначное дифференцируемое отображение области В в пространстве на область В в пространстве Если плотность случайной точки Q — в В равна то плотность случайной точки в В, где равна

в правой части должны быть выражены через

Доказательство. Пусть D — произвольная область внутри ее прообраз при рассматриваемом отображении. Очевидно, По правилу замены переменных в интеграле

а по определению плошосги

Приравнивая эти вероятности и принимая во внимание произвольность D, получим требуемый результат.

2.4.1. Пример. Случайнаяточка Q равномерно распределена в шаре

Обозначим через декартовы координаты точки Q. Их совместная плотность распределения в шаре постоянна: Однако плотности распределения каждой из координат достаточно громоздки (см. ниже п. 3.2.1). Поэтому перейдем к сферическим координатам (рис. 23):

В новых координатах шар превращается в параллелепипед Так как якобиан преобразования

то в новых координатах плотность

Легко видеть, что эта плотность представляет собой произведение трех плотностей

и, следовательно, сферические координаты точки Q независимы. Уравнения (11) для их нахождения можно записать так:

Отсюда получаем широко распространенные формулы

По этим значениям нетрудно вычислить и декартовы координаты точки

2.4.2. Пример. Выбор случайного направления в пространстве.

Обычно, говоря о «случайном» направлении, подразумевают выбор случайного направления в условиях, когда все направления равновероятны (в противном случае должно быть задано распределение вероятностей различных направлений).

Рис. 23

Рис. 24.

Направление условимся характеризовать единичным вектором

где . Нас интересует такой случайный вектор , что для любого телесного угла

Легко видеть, что если Q — случайная точка, равномерно распределенная в шаре то направление ее радиуса-вектора обладает нужным нам свойством. Действительно, если и - два равных телесных угла, то объемы соответствующих им шаровых секторов равны (рис. 24), и вероятность того, что точка Q попадет в каждый из них, одинакова. Поэтому из (14) получаем формулы для выбора «случайного» направления.

Декартовы координаты вектора со вычисляются по обычным формулам:

2.4.3. Пример [8]. Случайная точка подчиняется -мерному нормальному (гауссовскому) распределению с математическими ожиданиями и вторыми моментами Определитель матрицы положителен:

Плотность такой случайной точки выражается формулой

где — матрица обратная, по отношению к В, а — ее определитель.

Как известно, линейным преобразованием координат можно привести положительно определенную квадратичную форму, стоящую в показателе, к сумме квадратов. Удобно при этом использовать векторные обозначения: если и векторы, то их скалярное произведение

если квадратная матрица , то - это вектор с компонентами квадратичная форма выражается через скалярное произведение

Выберем новые координаты и пусть . Тогда

где Т — транспонированная матрица Т. Последнее выражение обратится и если единичная матрица. Отсюда

. Таким образом, матрица преобразования Т должна удовлетворять уравнению

Якобиан преобразования равен определителю матрицы: . Из (16) следует, , а так как . Значит,

Теперь можно записать плотность точки Q в новых координатах

откуда видно, что новые координаты точки Q независимы и нормальны с параметрами

Рис. 25.

Итак, для того чтобы вычислить значения надо найти независимых значений нормальной величины с параметрами — как это сделать, см. п. 3.2.2. или п. 4.4, и тогда

При практической реализации этого метода единственное сложное место — расчет матрицы Т. Из теории матриц следует [64], что существует треугольная матрица удовлетворяющая (16). Если при все то (16) превращается в систему, состоящую из уравнений

и все могут быть последовательно вычислены в порядке, схематически указанном в рис. 25. Матрицу С вычислять не надо.