ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Интегральные преобразования

1.1. Итерированные функции.

Рассмотрим функцию определенную в некоторой области G на плоскости и функцию определенную при Интегральное преобразование

преобразует функцию в функцию которую называют итерацией функции с помощью ядра . Второй итерацией функции помощью ядра называется функция которая обозначается Очевидно,

Точно так же определяются

Вычислять такие интегралы можно методами, указанными в гл. 3 и 4. Однако задачи, в которых приходится вычислять итерации функций, имеют свою специфику: обычно требуется не одна какая-нибудь итерация, а несколько или даже все итерации до некоторого порядка. Поэтому вычислительные схемы Монте-Карло выбирают так, чтобы все эти итерации вычислялись одновременно по одним и тем же случайным испытаниям.

Далее, многие методы приближенного решения интегральных уравнений используют не сами значения

а некоторые функционалы от чаще всего — линейные, представимые в форме скалярных произведений.

Условимся записывать скалярное произведение функций в виде

В следующем пункте мы рассмотрим задачу о вычислении интегралов вида Заметим, что если область G -мерная, то интеграл представляет собой -кратный интеграл.

В дальнейшем мы будем предполагать, что

Эта запись означает, что

Легко доказать, что если скалярное произведение (2) конечно. Это вытекает из неравенства (1) на стр. 292:

Так же легко доказать, что если , то . В самом деле, из (1) следует, что

Интегрируя это неравенство по Р, получим

Отсюда вытекает, что и принадлежат

Пример. Область G представляет собой треугольник ядро . Если выбрать

нетрудно проверить, что при