§ 3. Использование смещенных оценок
Все указанные в гл. 3 и 4 оцеки
интеграла
представляют собой несмещенные оценки:
Большинство авторов
включают условие несмещенности даже в определение случайной квадратурной формулы (20), требуя, чтобы
для всех
. И мы отдали дань этой традиции в гл. 3, п. 2.4.
Однако, как указано в гл. 3, п. 1.7, при больших N (когда количество используемых значений
) велико) для практических целей достаточно требовать только, чтобы оценка была состоятельной:
. В самом деле, обычно порядок дисперсии
и вероятная ошибка
оказывается
. В тех случаях, когда смещение
ясно, что при больших N порядок ошибки определяется величиной Гц, а не смещением.
3.1. Взвешенная равномерная выборка.
Предположим, что нам удалось найти допустимую по отношению к
плотность
приближенно пропорциональную
. Д. Хэндскомб [137] предложил в качестве оценки интеграла по конечной области G
использовать величину
где
- независимые случайные точки, равномерно распределенные в
Естественно сравнить оценку (36) с оценкой метода существенной выборки, где рекомендуется использовать такую же плотность
Согласно п. 3.2.1 гл. 3 получаем оценку
где
независимые реализации случайной точки Q с плотностью
Сразу видно, что при сложных
расчет по формуле (36) гораздо проще, так как не требуется разыгрывать точки Q с этой плотностью
Предположим, что
Тогда по теореме Хинчина (стр. 87) величина
а величина
когда
объем области G). Следовательно, по известному свойству сходимости по вероятности, величина
также сходится по вероятности к
так что оценка
состоятельна.
Оценка (36) исследовалась в работе М. Поуэлла и Дж. Свэпна [164]. При некоторых предположениях относительно
удалось доказать, что, когда
, дисперсия
а смещение
Легко видеть, что если
, то главные члены в
обращаются в нули (ср. с методом существенной выборки).
Пример. Вычислить интеграл
. Пусть
. Оценка (36) при
равна
Главный член дисперсии в этом примере легко вычисляется:
в то время как для простейшего метода