1.2. Оценки с повышенной скоростью сходимости.

Пусть G — конечная область в -мерном пространстве переменных так что интеграл (1) -кратный: . Рассмотрим оценку в случае, когда и все

Обозначим через диаметр области и предположим, что существуют положительные постоянные такие, что при всех

Условия (10) — (11) означают, что все области равномерно малы как по вероятности, так и по геометрическим размерам.

Например, если разбить единичный куб

в котором , на равновеликих кубов с ребром (рис. 48), то, очевидно, все , а все

Рис. 48.

Теорема 3. Предположим,что функция и все ее частные производные первого порядка непрерывны в G и при всех

Если выполнены условия (10) и (11), то для дисперсии оценки (9) справедливо неравенство

где .

Доказательство. Выберем внутри произвольную точку и воспользуемся формулой Тейлора:

где значения производных в некоторых точках (зависящих и от и от Р), так что все Из (13) следует, что

где координаты случайной точки

Воспользуемся известным в теории вероятностей соотношением

и запишем цепочку неравенств:

Так как , то и, используя (11), получим

Последнее неравенство вместе с (10) позволяет оценить дисперсию из (9)

откуда следует (12).

Замечание. В математической статистике оценки, дисперсии которых убывают быстрее чем иногда называют сверхэффективными.

С помощью теоремы 3 оценим погрешность Для этого в известном неравенстве Чебышева

справедливом при любом положим , где — малое число. Получим неравенство . В силу (12) тем более имеет место неравенство

которое показывает, что со сколь угодно большой вероятностью ошибка убывает как , т. е. быстрее чем

Конечно, при больших это ускорение порядка сходимости незначительно. И поэтому на практике оценка используется редко.

Теорема 3 впервые была доказана В. Дупачем [120] для случая и разбиения, изображенного на рис. 48. См. также [1, 128].