Например, если разбить единичный куб
в котором
, на
равновеликих кубов с ребром
(рис. 48), то, очевидно, все
, а все
Рис. 48.
Теорема 3. Предположим,что функция
и все ее частные производные первого порядка
непрерывны в G и при всех
Если выполнены условия (10) и (11), то для дисперсии оценки (9) справедливо неравенство
где
.
Доказательство. Выберем внутри
произвольную точку
и воспользуемся формулой Тейлора:
где
значения производных
в некоторых точках (зависящих и от
и от Р), так что все
Из (13) следует, что
где
координаты случайной точки
Воспользуемся известным в теории вероятностей соотношением
и запишем цепочку неравенств:
Так как
, то
и, используя (11), получим
Последнее неравенство вместе с (10) позволяет оценить дисперсию
из (9)
откуда следует (12).
Замечание. В математической статистике оценки, дисперсии которых убывают быстрее чем
иногда называют сверхэффективными.
С помощью теоремы 3 оценим погрешность
Для этого в известном неравенстве Чебышева
справедливом при любом
положим
, где
— малое число. Получим неравенство
. В силу (12) тем более имеет место неравенство
которое показывает, что со сколь угодно большой вероятностью ошибка
убывает как
, т. е. быстрее чем
Конечно, при больших
это ускорение порядка сходимости незначительно. И поэтому на практике оценка
используется редко.
Теорема 3 впервые была доказана В. Дупачем [120] для случая
и разбиения, изображенного на рис. 48. См. также [1, 128].