Рассмотрим случайною величину зависящую от траектории Т
При некоторых условиях справедливы равенства
и математическое ожидание величины 
оказывается равным вычисляемому функционалу:
Например, достаточно потребовать, чтобы было 
и ряд Неймана (28) сходился в среднем. Более общие условия приведены ниже в теореме 4.
Если (37) справедливо, то для оценки 
можно использовать N траекторий типа 
, по каждой из них вычислить значение 
(s - номер траектории) и осреднить результат
Конечно, построить бесконечную траекторию численно невозможно. На практике траекторию строят до тех пор, пока слагаемые в (36) не становятся пренебрежимо малыми по сравнению со всей суммой, и тогда траекторию «обрывают». Часто в качестве условия обрыва используют неравенство
где 
— некоторое наперед заданное малое число, a i — номер последней точки траектории.
Можно обойтись без искусственного обрыва траекторий, если вместо траекторий 
использовать траектории с поглощением 
. В самом деле, рассмотрим случайную величину
со случайным номером v, равным количеству звеньев траектории Т. При некоторых условиях математическое ожидание случайной величины 
зависящей от случайного индекса v, можно вычислить по формуле
аналогичной формуле полной вероятности. Так как при 
и 
величина 
, то из теоремы 2 вытекает, что
Следовательно,
и окончательно
Формула (40) также будет справедлива в случае, когда 
и ряд Неймана (28) сходится в среднем. Более общие условия см. ниже в теореме 5. Соответствующий формуле (40) метод Монте-Карло
где 
значение 
на 
траектории типа 
номер последней точки этой траектории.
2.4.1. Метод Монте-Карло (31) позволяет оценить функционал 
, если только ряд Неймана (28) сходится в среднем, так как можно фиксировать столь большое 
чтобы разность 
была меньше любого заданного 
Казалось бы, методы (38) и (41) также должны сходиться при этом единственном условии. К сожалению, переход в бесконечномерное пространство 
заставляет наложить несколько более жесткие ограничения, связанные с тем, что сходимость ряда 
не обеспечивает вообще говоря, существования 
и приходится требовать, чтобы 
ДИЛСЯ ряд 
Интегральное уравнение
назовем мажорантным по отношению к уравнению (25). Так как то из сходимости (в среднем) ряда Неймана для мажорантного уравнения следует абсолютная сходимость (в среднем) ряда (28).
Теорема 4. Если ряд Неймана для мажорантного уравнения (25) сходится в среднем, то имеет место равенство (37).
Теорема 5. Если ряд Неймана для мажорантного уравнения (25) сходится в среднем, то имеет место равенство (40).
Легко видеть, что 
случае, когда 
мажорантное уравнение (25) совпадает с уравнением (25) и из теорем 4 и 5 вытекают достаточные условия, приведенные в п. 2.4.
Перейдем к доказательству теоремы 4. Из теоремы I следует, что
Сумма таких математических ожиданий равна
и (по лемме п. 2.1) стремится к конечному пределу, равному 
. Сходимость этого ряда обеспечивает существование 
и справедливость равенства
Еще раз применяя лемму п. 2.1, получим, что
Аналогично доказывается и теорема 5. Из теоремы 2 вытекает, что
Затем с помощью леммы п. 2.1 доказывается сходимость ряда
которая обеспечивает существование и справедливость
равенства
То, что 
, мы уже доказали.
Метод Монте-Карло для расчета 
справедливый и тогда, когда ряд Неймана для мажорантною уравнения расходится, рассмотрен в статье [148]
Тогда любой начальный участок 
этой траектории представляет собой траекторию типа 
и плотность его 
выражается формулой (3). Предположим, что начальная плотность 
допустима по отношению к 
а плотность вероятностей перехода 
допустима по отношению к 
. Тогда из теоремы 1 следует, что при каждом 
