3.3. Симметризация подынтегральной функции.
3.3.1. Простая симметризация.
Пусть требуется вычислить интеграл
по конечному интервалу 
. Рассмотрим случайную величину 
равномерно распределенную в этом интервале, и величину 
. Так как 
, то простейший метод Монте-Карло приводит к оценке интеграла
где 
— независимые значения 
Рассмотрим теперь симметризованную функцию
интеграл которой по-прежнему равен 
и пусть 
Ввиду того, что 
можно записать симметризованную оценку интеграла
Так как математическое ожидание квадрата равно
а математическое ожидание квадрата Z равно
то легко доказать, что всегда 
и, следовательно, 
. Однако для расчета одного значения 
надо вычислить два значения 
. Поэтому трудоемкость оценки будет меньше трудоемкости 
только тогда, когда 
по крайней мере вдвое меньше, чем DZ. Оказывается, для монотонных функций это всегда выполнено.
Теорема 4. Если кусочно непрерывная функция 
монотонна при 
, то
Доказательство. Из выражений для дисперсий
и
вытекает, что утверждение теоремы равносильно неравенству
Предположим для определенности, что 
не убывает и 
. Введем вспомогательную функцию
которая обращается в нуль на концах отрезка 
Производная этой функции
монотонна, 
следовательно, 
при 
. И можно записать очевидное неравенство
Проинтегрировав по частям, получим неравенство
Подставив сюда выражение для 
, получим (37). Случай невозрастания 
рассматривается точно так же, так как тогда 
Пример. Рассмотрим интеграл
Симметризованная функция в этом примере равна 
соответствующая оценка 
Дисперсия осредняемой величины равна
Это во много раз меньше, чем 
Рис. 40.
