4.2. Вспомогательная теорема о погрешности простейшей квадратурной формулы.
Допустим, что для приближенного вычисления интеграла
используются V фиксированных точек 
принадлежащих интервалу (0, 1), и простейшая формула
Погрешность такого приближения зависит от функции
Обозначим через 
множество непрерывных функций 
с кусочно непрерывными производным» 
такими, что
По сравнению с § 2 здесь мы сужаем класс подынтегральных функции: там требовалось только, чтобы 
, а здесь — 
Обозначим через 
количество точек 
с номерами 
удовлетворяющих неравенству 
Нетрудно проверить, что
и представляет собой ступенчатую функцию (рис. 11).
Теорема 5. Каковы бы ни были точки 
верхняя грань погрешности (43) равна
Доказательство. Функция 
может быть выражена через свою производную
Рис. 44.
Полагая здесь 
и суммируя по 
получим, j что
С другой стороны, интегрируя по частям, легко получить, что
Вычитая последнее равенство из предпоследнего, получим формулу для погрешности
Из формулы (46), используя неравенство (1) (стр. 292) и условие (44), выводим, что если 
, то
эта величина как раз фигурирует в (45).
Осталось доказать неулучшаемость последнего неравенства. Для этого рассмотрим функцию
Так как 
. Подставив 
в (46), получим, что
Таким образом, теорема доказана.
