§ 1. Моделирование путем имитации

1.1. Задача о поглощении нейтронов.

Рассмотрим ограниченную выпуклую (для простоты) область в пространстве, не содержащую делящихся ядер. Считаем известными сечения рассеяния и поглощения и индикатрису рассеяния которая представляет собой условную плотность распределения направлений рассеяния Q. В точке расположен источник нейтронов с энергией равновероятными направлениями начальной скорости. Требуется вычислить вероятность того, что нейтрон, вылетевший из источника, поглотился в области

Задача рассматривается в одногрупповом приближении, так что энергия нейтрона при рассеянии не меняется.

Возможностью возвращения вылетевшего нейтрона обратно в пренебрегаем. Последнее условие означает, что нейтрон, вылетевший из перестает нас интересовать. Поэтому можно внешнюю среду заменить любой поглощающей средой с сечением

Рассмотрим какой-нибудь нейтрон, порожденный источником. Выберем случайное направление его скорости (методом гл. 2, п. 2. 4. 2). Затем разыграем для него случайную длину свободного пробега — как это делать указано ниже в § 2. Получим точку столкновения нейтрона

Если то мы считаем, что история нейтрона закончилась вылетом из области и полагаем случайную величину

При разыгрываем судьбу нейтрона (методом гл. 2, п. 1.2.2). Если нейтрон поглотился, то история его заканчивается и полагаем Если же нейтрон рассеялся, то в соответствии с индикатрисой разыгрываем новое направление скорости затем новую длину свободного пробега и вычисляем следующую точку столкновения

Расчет траектории продолжается до вылета нейтрона из области или до его поглощения. (Можно доказать, что при весьма общих условиях вероятность бесконечной последовательности рассеяний внутри равна нулю.) Если история нейтрона заканчивается

поглощением, то полагаем в противном случае полагаем (рис. 55).

По определению искомая вероятность Так как распределение случайной величины задается таблицей

то .

Рис. 55.

Оценкой величины служит среднее арифметическое

где — значение полученное на траектории, общее количество реализованных траекторий. Последнюю формулу можно записать также в виде

где — количество траектории, закончившихся поглощением нейтрона.

Изложенный метод Монте-Карло для расчета основан на имитации поведения нейтронов в среде. В каком-то смысле это самый естественный метод решения задачи. Однако это не лучший метод. Ниже, в § 3 указаны несколько видоизменений этого метода, позволяющие строить случайные величины такие,что При этом будет использована следующая лемма. Лемма. Если случайная величина , для которой удовлетворяет неравенствам , то

Доказательство. Так как дисперсия