Упражнения к главе 2
1. Вывести явную формулу для расчета значений случайной величины 
с функцией распределения
2. Вывести явную формулу для расчета значений случайной величины I с плотностью распределения 
число 
целое.
3. Вывести явные формулы для расчета случайных точек, равномерно распределенных в плоском кольце 
4. Вывести явные формулы для расчета реализаций случайной точки 
с плотностью 
определенной в треугольнике, ограниченном прямыми 
и 
5. Вычислить плотность случайной величины 
, если 
имеет плотность 
при 
независимы).
6. Доказать, что случайную величину 
, определенную в интервале 
с плотностью
можно моделировать с помощью любой из четырех формул:
7. Если гамма-квант с энергией Е рассеивается в результате комптон-эффекта, то его энергия после рассеяния 
представляет собой случайную величину с плотностью 
пропорциональной функции
при 
(закон Клейна — Нишина). Доказать, что 
можно вычислять методом отбора:
где 
(И. Г. Дядькин [26]).
8. Энергию нейтрона, испущенного при делении ядра 
часто считают случайной величиной определенной при 
с плотностью
где b и Т — параметры, 
- нормировочная постоянная. Доказать, что 
можно вычислять по формуле
где 
— нормальная случайная величина с параметрами 
у независимы.
(Г. А. Михайлов [56])
9. Независимые случайные числа 
Расположены в порядке возрастания 
Доказать,
что 
подчиняется бэта-распределению с параметрами 
С. Butcher, Н. Messel [109]). (Способы моделирования бэта-распределения с дробными параметрами рассмотрены в статьях [62, 73, 102, 103, 141].)
10. Доказать, что формулы 
и
определяют случайную точку 
равномерно распределенную в 
-мерной пирамиде 
Допустим, что случайная точка Q с плотностью 
определена в области В. Обозначим через 
часть поверхности 
принадлежащую В, и предположим, что семейство 
при 
заполняет В. Доказать, что если 
то точку Q можно моделировать в два этапа: сперва выбирается случайное значение параметра 
с плотностью 
где — площадь 
а затем на поверхности L выбирается случайная равномерно распределенная точка.
(В. А. Герман, И. М. Соболь [17].)
12. Доказать, что случайная точка с декартовыми координатами 
где 
равномерно распределена в симплексе 
.
13. Доказать, что случайная точка с декартовыми координатами 
где 
независимые нормальные случайные величины с параметрами 
равномерно распределена на поверхности единичной многомерной сферы
