1.3. Системы массового обслуживания.

Рассмотрим модель одной из простейших (однофазных) систем массового обслуживания. Такая система состоит из линий (или каналов, или пунктов обслуживания), каждая из которых может независимо «обслуживать» заявки. В любой момент времени линия может быть либо свободной, либо занятой.

Примерами таких систем могут служить автозаправочная станция (линии — бензоколонки, заявки — приезжающие машины), телефонная станция (линии — каналы связи, заявки — вызовы абонентов), парикмахерская (линии — мастера, заявки — клиенты) и т. д.

В систему поступает случайный поток заявок, вероятностные характеристики которого предполагаются известными. Если в момент поступления заявки, назовем его имеются свободные линии, то одна из них (правило выбора должно быть задано) принимает на себя обслуживание этой заявки. Продолжительность обслуживания заявки i-й линией представляет собой случайную величину , плотность распределения которой также должна быть задана.

Предположим, что наша система представляет собой систему с отказами: если в момент все линии заняты, то система выдает отказ. (Такая модель годится для телефонной станции, но не подходит для автозаправочной станции или парикмахерской, которые ближе к так называемым системам с ожиданием). Важнейшая характеристика системы с отказами — среднее число отказов в заданном интервале времени. Конечно, число отказов зависит от поступающего потока заявок.

Аналитические методы позволяют рассчитывать системы массового обслуживания только в простейших случаях. Во всех более сложных задачах приходится прибегать к статистическому моделированию [7, 38, 43].

1.3.1. Описание потока заявок.

Чаще других рассматривается стационарный пуассоновский поток, называемый также простейшим потоком, в котором интервалы между моментами поступления двух последовательных заявок независимы и подчиняются экспоненциальному распределению: и функция распределения О равна

Величина называется интенсивностью потока заявок.

Из более сложных стационарных потоков отметим только потоки Эрланга, в которых величины также независимы, но подчиняются более общему гамма-распределению (см. гл. 2, п. 4.2) с плотностью

Интенсивность такого потока равна

Сравнительно редко используют нестационарные пуассоновские потоки, в которых функция распределения зависит от

Нетрудно проверить, что в последнем случае имеет тот же вид, что функция распределения свободных пробегов (см. ниже формулу ). Изложенный в п. 2.2.3 метод постоянного сечения позволяет легко моделировать такие нестационарные потоки, вводя фиктивные заявки.

1.3.2. Алгоритм расчета системы с отказами.

Рассмотрим конкретную систему с отказами, состоящую из линий. Плотности считаем известными. Правило выбора свободной линии сформулируем так: заявка поступает на линию, которая освободилась раньше всех, а если таких несколько, то на ту из них, номер которой меньше.

Пусть в рассматриваемую систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью а. Требуется оценить среднее число отказов за время

Поставим в соответствие линии с номером i ячейку ЭВМ, в которую будем записывать момент освобождения этой линии . В начальный момент, очевидно, . В отдельную ячейку будем записывать величину

Момент поступления первой заявки разыграем по формуле

Очевидно, первую заявку начнет обслуживать первая линия. Время обслуживания найдем из уравнения

Линия номер 1 будет занята до момента новое Следовательно, в соответствующей первой линии ячейке надо заменить на и вычислить новое

Предположим теперь, что заявки, поступившей в момент мы уже выяснили. Тогда разыгрываем момент поступления заявки

и проверяем, если ли свободные линии. Для этого доста точно проверить неравенство

а) Если (3) выполнено, то линия, для которой приступает к обслуживанию заявки (если линий, для которых несколько, то выбирается та из них, номер которой меньше). Продолжительность обслуживания разыгрывается по формуле

затем вычисляется и новое значение f. После этого можно перейти к рассмотрению следующей, заявки.

б) Если неравенство (3) невыполнено, то свободных линий в момент 4 нет и система должна выдать отказ.

В этом случае необходимо прибавить единицу к счетчику отказов, после чего можно перейти к рассмотрению заявки.

Расчет продолжается до тех пор, пока момент поступления очередной заявки не окажется больше, чем

Рис. 57.

К этому времени в счетчике отказов будет стоять количество отказов за время

Повторив такой опыт N раз (с различными случайными числами), получим N значений , по которым можно оценить среднее число отказов за время . Схема обработки одной заявки изображена на рис. 57.