2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.

Рассмотрим для простоты случай, когда Пусть функция также имеет специальный вид: где непрерывна при , а функция ограничена в Таким образом, рассмотрим интеграл

где подынтегральная функция может иметь особенность лишь при Таким образом, особенность подынтегральной функции зависит от параметра.

Введем определение равномерной сходимости интеграла (7.10) в точке. Обозначим через m-мерный шар радиуса с центром в точке

Определение. Интеграл (7.10) назовем сходящимся равномерно по параметру у в точке если для любого можно указать такое, что и для любой кубируемой области и всех выполняется неравенство

Теорема 7.18. Если интеграл (7.10) сходится равномерно по у в точке то он непрерывен в точке

Доказательство. Требуется доказать, что для любого существует такое, что при выполнено неравенство Из равномерной сходимости интеграла в точке следует, что существует такое, что и при

Пусть

где — дополнение шара до области D.

Заметим, что при функция будет равномерно непрерывной по совокупности аргументов. Поэтому найдется положительное число такое, что при будет выполнено неравенство

где М — константа, ограничивающая функцию — объем области D. При

Поэтому

так как Теорема доказана.

Укажем достаточное условие равномерной по параметру сходимости интеграла (7.10) в каждой точке

Теорема 7.19. Пусть функция непрерывна в при равномерно ограничена в D. Предположим, что существуют постоянные такие, что для всех справедливо неравенство

Тогда интеграл (7.10) сходится равномерно по у в каждой точке

Доказательство. Покажем, что для любой точки области D и любого существует такое, что для любой кубируемой области и всех выполнено неравенство

Учитывая оценку для и ограниченность получим

Фиксируем точку . Из условия вытекает условие Поэтому

Интеграл в правой части можно вычислить в -мерных сферических координатах; тогда

Ясно, что при достаточно малом величина может быть сделана меньше . Теорема доказана.

Пример. Применим полученные результаты к теории так называемого ньютонова потенциала. Пусть в некоторую точку помещена масса На массу т., помещенную в точку по закону всемирного тяготения действует сила

где — гравитационная постоянная,

единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора Пусть тогда

или покомпонентно

Очевидно, что потенциал силы тяготения, определяемый как скалярная функция и такая, что равен

Если же масса сосредоточена не в точке а распределена по области D с плотностью то для потенциала и для компонент силы получим

Интегралы для представляют собой частные производные потенциала и. Подынтегральные выражения во всех интегралах можно оценить через где для интеграла, представляющего потенциал и, и для интегралов, представляющих компоненты силы. Так как то в силу теоремы 7.19 все интегралы сходятся равномерно по параметрам в любой точке Следовательно, по теореме 7.18 они представляют собой непрерывные функции точки