4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда).

Справедливы следующие фундаментальные теоремы.

Теорема 2.1. Для того чтобы функциональная последовательность равномерно на множестве сходилась к некоторой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для произвольного нашелся номер гарантирующий справедливость неравенства

для всех номеров удовлетворяющих условию всех натуральных и всех точек х из множества

Теорема 2.2. Для того чтобы функциональный ряд

равномерно на множестве сходился к некоторой сумме, необходимо и достаточно, чтобы для произвольного нашелся номер гарантирующий справедливость неравенства

для всех номеров удовлетворяющих условию всех натуральных и всех точек х множества

Достаточно провести доказательство только теоремы 2.1, так как теорема 2.2 является следствием теоремы 2.1 (заметим, что в левой части (2.9) под знаком модуля стоит разность частичных сумм с номерами функционального ряда

Доказательство теоремы 2.1. Необходимость. Предположим, что последовательность сходится равномерно на множестве к предельной функции Тогда, фиксировав произвольное мы найдем для него номер такой, что неравенство

будет справедливо для всех номеров удовлетворяющих условию и для всех точек х множества

Если — любое натуральное число, то при номер тем более будет удовлетворять условию а поэтому для всех номеров удовлетворяющих условию всех натуральных и всех точек х множества тем более будет справедливо неравенство

Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то в силу (2.10) и (2.11) получим, что

(для всех номеров удовлетворяющих условию всех натуральных и всех х из множества Необходимость доказана.

Достаточность. Предположим, что для произвольного существует номер такой, что неравенство (2.7) справедливо для всех номеров удовлетворяющих условию всех натуральных и всех точек х множества

Из неравенства (2.7) и из критерия Коши сходимости числовой последовательности (см. п. 3 § 3 гл. 3 ч. 1) вытекает сходимость последовательности в каждой точке х множества и существование определенной в каждой точке х множества предельной функции

Фиксировав произвольный номер удовлетворяющий условию и произвольную точку х множества перейдем в неравенстве (2.7) к пределу при Используя теорему 3.13 п. 4 § 1 гл. 3 ч. 1, мы получим, что для произвольного номера [удовлетворяющего условию и произвольной точки х множества справедливо неравенство

Это и доказывает, что последовательность сходится к предельной функции равномерно на множестве Достаточность доказана.

Наличие критерия Коши не снимает вопроса об установлении удобных для приложений достаточных признаков равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов, к которому мы сейчас и переходим.