3. Элементарные представления о функциях кемплексной переменной.

Выше отмечалось, что на случай степенного ряда относительно комплексной переменной z

переносятся теоремы 2.13 и 2.14 (о существовании и величине радиуса сходимости). Ряды такого типа используются для определения функций комплексной переменной

Функции и комплексной переменной z определяются как суммы следующих рядов:

Легко проверить, что эти ряды абсолютно сходятся для всех значений z (их радиус сходимости

Установим теперь связь между функциями и Заменяя в формуле на получим

Сопоставляя правую часть равенства (2.75) с разложениями (2.73) и (2.74), придем к следующей замечательной формуле:

Формула (2.76) играет фундаментальную роль в теории функций комплексной переменной и называется формулой Эйлера.

Полагая в формуле Эйлера переменную z равной сначала вещественному числу х, а затем вещественному числу по лучим следующие формулы

Складывая и вычитая эти формулы, получим формулы, выражающие через показательную функцию:

В заключение остановимся на определении логарифмической функции комплексной переменной Эту функцию естественно определить как функцию, обратную показательной, т. е. из соотношения Полагая поставим перед собой цель — выразить через

Из соотношения

получим, используя понятия модуля и аргумента комплексного числа,

где

Из последних равенств находим, что

или окончательно

Формула (2.78) показывает, что логарифмическая функция в комплексной области не является однозначной-, ее мнимая часть для одного и того же значения z имеет бесчисленное множество значений, отвечающих различным

Легко понять, что аналогичная ситуация будет иметь место и при определении в комплексной области обратных тригонометрических функций.