§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ

Всюду в дальнейшем подчиним функцию требованию абсолютной интегрируемости на прямой т. е. потребуем, чтобы сходился несобственный интеграл

Определение 1. Будем говорить, что функция принадлежит на прямой классу и писать если функция интегрируема (в собственном смысле Римана) на любом сегменте (говорят, что — локально интегрируема) и если сходится несобственный интеграл (9.1).

1. Вспомогательные утверждения.

Заметим, что в дальнейшем комплексная функция вещественного аргумента X будет рассматриваться как пара вещественных функций Непрерывность в данной точке X понимается как непрерывность в этой точке каждой из функций

Лемма 1. Если то для любой точки X числовой прямой существует несобственный интеграл

называемый преобразованием Фурье (или образом Фурье) функции Функция непрерывна по X в каждой точке числовой прямой.

Доказательство. Из равенства и из сходимости интеграла (9.1) вытекает существование несобственного интеграла

Из признака Вейерштрасса (см. теорему 7.8) вытекает равномерная по X сходимость интеграла (9.2); отсюда в силу непрерывности по X легко следует непрерывность на каждом сегменте, т. е. в каждой точке числовой прямой.

Лемма 2 (лемма Римана). Пусть функции — локально интегрируема на — произвольный фиксированный интервал числовой прямой; тогда

при ( — вещественное число).

Доказательство. Фиксируем произвольное число Так как функция по условию теоремы локально интегрируема на числовой прямой, то интегрируема на заданном сегменте

Поэтому для выбранного числа найдется такое разбиение Т сегмента на частичные сегменты что для нижней суммы Дарбу справедливы неравенства

Напомним, что

где

Рассмотрим кусочно постоянную на сегменте функцию при Очевидно, на и для всех вещественных чисел

Но для фиксированного нами разбиения Т

при Таким образом, при интеграл стремится к нулю. Лемма доказана.

Лемма 3. Преобразование Фурье функции стремится к нулю при т. е.

Доказательство. Фиксируем произвольное число В силу сходимости интеграла (9.1) можно выбрать число такое, что

При таком А справедливо неравенство

Последний интеграл при достаточно большом может быть оценен сверху числом — (см. лемму 2). Так как произвольно, то Лемма доказана.

В качестве следствия из леммы 3 получаем