2. Условия существования двойного интеграла для прямоугольника.

Теория Дарбу, развитая в гл. 9 ч. 1 для однократного определенного интеграла, полностью переносится на случай двойного интеграла в прямоугольнике Ввиду полной аналогии мы ограничимся указанием общей схемы рассуждений.

Составим для данного разбиения Т прямоугольника две суммы: верхнюю сумму

и нижнюю сумму

Справедливы следующие утверждения (доказательства их полностью аналогичны доказательствам, приведенным в п. 2 § 2 гл. 9 ч. 1).

Утверждение 1. Для любого разбиения Т прямоугольника при любом выборе промежуточных точек на частичных прямоугольниках интегральная сумма а удовлетворяет неравенствам

Утверждение 2. Для любого фиксированного разбиения Т и любого числа промежуточные точки можно выбрать так, что интегральная сумма а будет удовлетворять неравенствам

Точки можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма а будет удовлетворять неравенствам

Утверждение 3. Пусть Т — измельчение разбиения Т прямоугольника — соответственно верхняя и нижняя суммы разбиения Т. Тогда справедливы неравенства

Утверждение 4. Пусть — любые два разбиения прямоугольника — верхние и нижние суммы этих разбиений соответственно. Тогда

Утверждение 5. Множество верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений прямоугольника ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Таким образом, существуют числа

называемые соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу (от функции по прямоугольнику Легко убедиться в том, что

Утверждение 6. Пусть Т — измельчение разбиения Т прямоугольника полученное из Т добавлением новых прямых, и пусть — верхние и нижние интегральные суммы разбиений соответственно. Тогда имеют место оценки где — диаметр разбиения

— диаметр прямоугольника

В полной аналогии с понятием предела интегральных сумм (определение вводится понятие предела верхних и нижних сумм. Так, число 7 называется пределом верхних сумм при если для любого можно указать такое, что при

Утверждение 7. Верхний и нижний интегралы Дарбу от функции по прямоугольнику являются пределами соответственно верхних и нижних сумм при

Из приведенных утверждений 1—7 вытекает следующая

Теорема 3.1. Для того чтобы ограниченная на прямоугольнике функция была интегрируема на этом прямоугольнике, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение Т прямоугольника для которого

Как и в гл. 9 ч. 1, теорема 3.1 в соединении с теоремой о равномерной непрерывности позволяет выделить важнейшие классы интегрируемых функций.

Теорема 3.2. Любая непрерывная в прямоугольнике функция интегрируема на этом прямоугольнике.

Определение 1. Назовем элементарной фигурой множество точек, представляющих собой объединение конечного числа прямоугольников (со сторонами, параллельными осям

Заметим, что в определении 1 можно брать прямоугольники, как имеющие общие внутренние точки, так и не имеющие их.

Определение 2. Будем говорить, что функция обладает в прямоугольнике (в произвольной замкнутой области - свойством, если: ограничена в (в ) для

любого найдется элементарная фигура площади, меньшей содержащая все точки и линии разрыва функции

Теорема 3.3. Если функция обладает в прямоугольнике -свойством, то она интегрируема на этом прямоугольнике.

Доказательство теорем 3.2 и 3.3 полностью аналогично доказательству теорем 9.1 и 9.2 ч. 1.