§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Развитые в предыдущих параграфах методы позволяют вычислять различные несобственные интегралы.
1°. Вычислим интеграл
Сходимость этого интеграла была установлена ранее (см. дополнение 1 к гл. 9 ч. 1).
Рассмотрим вспомогательную функцию
Функция 
и ее производная 
непрерывны в области 
. Пусть
Установим равномерную сходимость этого интеграла при 
Для этого, очевидно, достаточно установить равномерную сходимость интеграла 
. К этому интегралу применим приведенный в § 3 признак Дирихле—Абеля. Действительно, интеграл
является ограниченным, так как
Функция — при 
монотонно стремится к нулю. Из равномерной сходимости интеграла и непрерывности подынтегральной функции согласно теореме 7.9 § 3 вытекает непрерывность функции 
на 
т. е. справедливость равенства
Найдем значение 
Рассмотрим вспомогательный интеграл 
Согласно признаку Дирихле—Абеля, который, очевидно, применим к этому интегралу, заключаем, что этот интеграл равномерно сходится в области 
где 
. Отсюда согласно теореме 7.14 § 3 следует возможность дифференцирования интеграла 
по параметру у в любой точке 
Таким образом, для любого 
Этот интеграл иногда называют разрывным множителем Дирихле. В частности, с помощью разрывного множителя Дирихле получаем представление для функции
в виде
3°. Вычислим интеграл Пуассона 
Рассмотрим интеграл
Положим 
где 
тогда
Умножим обе части этого соотношения на 
и проинтегрируем но 
Рассмотрим функцию 
. В области 
эта функция ограничена, непрерывна и неотрицательна. Интегралы
являются непрерывными функциями в областях изменения параметра
т. е. соответственно в области 
и в области Кроме того,
Таким образом, выполнены все условия теоремы 7.13 из § 3. Поэтому
т. е.
получим
то для 
имеем при 
и, следовательно, для любого
получим
При 
в интеграле 
произведем замену переменной, полагая 
Тогда
произведем замену переменной, полагая 
Тогда
интеграл 
очевидно, равен нулю. Следовательно,
