Главная > Математический анализ. Продолжение курса
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть Ф — гладкая, двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек, определяемая параметрическими уравнениями (5.1) (или, что то же самое, в области

Пусть на Ф определены четыре функции: каждая из которых является непрерывной (а, следовательно, и равномерно непрерывной) на множестве точек поверхности Ф.

Разобьем поверхность Ф при помощи гладких или кусочно гладких кривых на конечное число частичных поверхностей и обозначим через максимальный размер частей Ф; (диаметр разбиения поверхности). Выберем на каждой частичной поверхности произвольную точку

Пусть — единичная нормаль в точке — компоненты этой единичной нормали (или, как их называют, направляющие косинусы). Обозначим через площадь частичной поверхности Как показано выше (см. (5.17)),

где — подобласть образом которой является

Составим четыре суммы:

Определение 1. Число называется пределом сумм при если для любого найдется такое, что при (независимо от выбора точек выполняется неравенство

Определение существует предел сумм то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности Ф и обозначается символом

Определение 2. Если при существуют пределы сумм где или 4, то эти пределы называются поверхностными интегралами второго рода и обозначаются соответственно символами

Сумма последних трех интегралов называется общим поверхностным интегралом второго рода. Этот интеграл может быть записан в виде

где вектор с компонентами

вектор единичной нормали к поверхности Ф.

Из определений поверхностных интегралов следует, что:

1) поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора стороны поверхности и не меняется при изменении направления нормали на противоположное, а поверхностные интегралы второго рода меняют знак при изменении направления нормали на противоположное;

2) поверхностный (интеграл первого рода (5.191) и общий поверхностный интеграл второго рода (5.195) не зависят от выбора системы координат и инвариантны относительно перехода к новым координатам;

3) физически интеграл (5.195) представляет собой поток вектора А через поверхность Ф, а интеграл (5.191) дает массу нагруженной поверхности Ф при условии, что поверхностная плотность распределения массы равна

4) каждый из поверхностных интегралов второго рода (5.192) — (5.194) сводится к поверхностному интегралу первого рода (5.191): достаточно взять в поверхностном интеграле первого рода подынтегральную функцию соответственно равной причем если являются непрерывными на Ф, то и окажется непрерывной вдоль Ф.

Отметим, что в случае замкнутой поверхности Ф вектор нормали всегда считают направленным во внешность области, ограниченной этой поверхностью.

Теорема 5.2. Если Ф гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек, задаваемая уравнениями (5.1), а функция [соответственно функции непрерывна вдоль Ф, то поверхностный интеграл (5.191) [соответствующий из поверхностных интегралов (5.192) — (5.194)] существует и сводится к обычному двойному интегралу с помощью формулы

[с помощью соответствующей из формул

Доказательство. Достаточно провести доказательство существования только интеграла (5.191) и справедливости формулы (5.201), так как все поверхностные интегралы второго рода сводятся к этому интегралу.

Заметим, что интеграл, стоящий в правой части (5.201) (обозначим его существует (поскольку подынтегральная функция непрерывна), поэтому достаточно доказать, что предел сумм при диаметре разбиения существует и равен Фиксируем любое и оценим разность

Здесь мы использовали представление (5.17) для Так как функция равномерно непрерывна в то для фиксированного найдется такое, что при выполняется неравенство

где площадь поверхности Ф. Из (5.21), (5.22) получим

при Это означает, что существует равный предел сумм при Теорема доказана.

Следствие. Если поверхность Ф задана уравнением где — непрерывно дифференцируемая в области плоскости функция, то, выбирая на поверхности Ф ту сторону, для которой вектор нормали

поверхности составляет с осью острый угол, можем переписать формулу (5.204) следующим образом:

В самом деле, достаточно учесть, что

Это оправдывает следующее обозначение для поверхностного интеграла второго рода:

Отметим, что обозначение (5.23) используется и в случае, когда Ф не является графиком функции

Для общего поверхностного интеграла второго рода (5.195) также применяется следующее обозначение:

Замечание. Понятия поверхностных интегралов первого и второго рода естественно распространяются на случай, когда поверхность Ф является кусочно гладкой. Для таких поверхностей, очевидно, также справедлива доказанная в этом параграфе теорема существования.

1
Оглавление
email@scask.ru