§ 2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть Ф — гладкая, двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек, определяемая параметрическими уравнениями (5.1) (или, что то же самое, в области

Пусть на Ф определены четыре функции: каждая из которых является непрерывной (а, следовательно, и равномерно непрерывной) на множестве точек поверхности Ф.

Разобьем поверхность Ф при помощи гладких или кусочно гладких кривых на конечное число частичных поверхностей и обозначим через максимальный размер частей Ф; (диаметр разбиения поверхности). Выберем на каждой частичной поверхности произвольную точку

Пусть — единичная нормаль в точке — компоненты этой единичной нормали (или, как их называют, направляющие косинусы). Обозначим через площадь частичной поверхности Как показано выше (см. (5.17)),

где — подобласть образом которой является

Составим четыре суммы:

Определение 1. Число называется пределом сумм при если для любого найдется такое, что при (независимо от выбора точек выполняется неравенство

Определение существует предел сумм то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности Ф и обозначается символом

Определение 2. Если при существуют пределы сумм где или 4, то эти пределы называются поверхностными интегралами второго рода и обозначаются соответственно символами

Сумма последних трех интегралов называется общим поверхностным интегралом второго рода. Этот интеграл может быть записан в виде

где — вектор с компонентами

вектор единичной нормали к поверхности Ф.

Из определений поверхностных интегралов следует, что:

1) поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора стороны поверхности и не меняется при изменении направления нормали на противоположное, а поверхностные интегралы второго рода меняют знак при изменении направления нормали на противоположное;

2) поверхностный (интеграл первого рода (5.191) и общий поверхностный интеграл второго рода (5.195) не зависят от выбора системы координат и инвариантны относительно перехода к новым координатам;

3) физически интеграл (5.195) представляет собой поток вектора А через поверхность Ф, а интеграл (5.191) дает массу нагруженной поверхности Ф при условии, что поверхностная плотность распределения массы равна

4) каждый из поверхностных интегралов второго рода (5.192) — (5.194) сводится к поверхностному интегралу первого рода (5.191): достаточно взять в поверхностном интеграле первого рода подынтегральную функцию соответственно равной причем если являются непрерывными на Ф, то и окажется непрерывной вдоль Ф.

Отметим, что в случае замкнутой поверхности Ф вектор нормали всегда считают направленным во внешность области, ограниченной этой поверхностью.

Теорема 5.2. Если Ф гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек, задаваемая уравнениями (5.1), а функция [соответственно функции непрерывна вдоль Ф, то поверхностный интеграл (5.191) [соответствующий из поверхностных интегралов (5.192) — (5.194)] существует и сводится к обычному двойному интегралу с помощью формулы

[с помощью соответствующей из формул

Доказательство. Достаточно провести доказательство существования только интеграла (5.191) и справедливости формулы (5.201), так как все поверхностные интегралы второго рода сводятся к этому интегралу.

Заметим, что интеграл, стоящий в правой части (5.201) (обозначим его существует (поскольку подынтегральная функция непрерывна), поэтому достаточно доказать, что предел сумм при диаметре разбиения существует и равен Фиксируем любое и оценим разность

Здесь мы использовали представление (5.17) для Так как функция равномерно непрерывна в то для фиксированного найдется такое, что при выполняется неравенство

где — площадь поверхности Ф. Из (5.21), (5.22) получим

при Это означает, что существует равный предел сумм при Теорема доказана.

Следствие. Если поверхность Ф задана уравнением где — непрерывно дифференцируемая в области плоскости функция, то, выбирая на поверхности Ф ту сторону, для которой вектор нормали

поверхности составляет с осью острый угол, можем переписать формулу (5.204) следующим образом:

В самом деле, достаточно учесть, что

Это оправдывает следующее обозначение для поверхностного интеграла второго рода:

Отметим, что обозначение (5.23) используется и в случае, когда Ф не является графиком функции

Для общего поверхностного интеграла второго рода (5.195) также применяется следующее обозначение:

Замечание. Понятия поверхностных интегралов первого и второго рода естественно распространяются на случай, когда поверхность Ф является кусочно гладкой. Для таких поверхностей, очевидно, также справедлива доказанная в этом параграфе теорема существования.