§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ n-МЕРНЫХ ТЕЛ

В § 4 этой главы было отмечено, что интеграл

равен -мерному объему области D. Поэтому величину естественно назвать элементом объема в, рассматриваемой декартовой системе координат помощью преобразования (3.21) перейдем от декартовых координат к новым, вообще говоря, криволинейным координатам Поскольку при таком переходе (согласно формуле замены переменных (3.23)) интеграл (3.53) преобразуется к виду

то величину

естественно назвать элементом объема в криволинейной системе координат

Итак, модуль якобиана характеризует «растяжение» (илге «сжатие») объема переходе от декартовых координат к криволинейным координатам

Подсчитаем элементы объема в сферических и цилиндрических координатах.

1°. Для сферических координат в пространстве

якобиан имеет вид

Следовательно, элемент объема равен

2°. Для цилиндрических координат в пространстве

якобиан имеет вид

Следовательно, элемент объема равен . В частности, для лолярных координат на плоскости элемент площади равен

3°. В пространстве сферические координаты определяются равенствами

якобиан имеет вид

Таким образом, элемент объема в -мерных сферических координатах равен

Примеры. 1°. Вычислить объем V тела, вырезанного цилиндром из сферы (рис. 3.6).

Тело симметрично относительно координатных плоскостей и расположено направо от плоскости Поэтому достаточно вычислить объем четверти тела, лежащей в первом октанте, т. е.

Перейдем к цилиндрическим координатам. Область D определяется так:

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Формула замены переменных дает

Таким образом,

Записав результат в виде отметим, что вычисляемый объем на меньше объема полушара радиуса из которого оно вырезано.

2°. Вычислить интеграл

где D — тело, ограниченное сверху поверхностью

а снизу плоскостью

В сферических координатах уравнение поверхности (3.54) примет вид

Так как 0 для точек поверхности D, то, учитывая симметрию тела относительно оси после замены переменных получим

3°. Вычислить интеграл

где D — -мерный шар радиуса с центром в начале координат:

Перейдем к сферическим координатам в

т. е. область D — параллелепипед.

Формулы замены переменных (3.23) и повторного интегрирования (3.18) приводят к интегралу

Воспользовавшись формулой, выражающей интегралы от степеней синуса (см. п. 4 § 5 гл. 9 ч. 1 или сноску на с. 138 этой книги), получим

4°. Вычислить интеграл Пуассона

Рассмотрим на плоскости две области

и неотрицательную функцию двух переменных рис. 3.7 изображены области четверти кругов радиусов в первом квадранте, и область — заштрихованный квадрат.

Поскольку то

Для среднего интеграла (3.55) получим

Чтобы подсчитать оставшиеся два интеграла, сделаем замену переменных, переходя к полярным координатам. Область, которая при этом преобразовании переходит в имеет вид

Применяя формулу замены переменных, получим

Подставим полученные выражения в (3.55):

Перейдем к пределу в (3.56) при

Этот элегантный прием вычисления принадлежит Пуассону.