§ 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Установим некоторую связь между скоростью убывания функции f(x) и гладкостью (дифференцируемостью) ее преобразования Фурье, а также между гладкостью функции и скоростью убывания ее преобразования Фурье.

Утверждение 1. Пусть для целого неотрицательного Тогда преобразование Фурье функции дифференцируемо раз, причемлего производную по А любого порядка можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла (9.2), т. е. по формуле

Доказательство. Для любого справедливо неравенство

Интеграл

сходится. Из сходимости этого интеграла и из признака Вейерштрасса (см. теорему 7.8) вытекает равномерная по К на каждом сегменте сходимость интеграла . Из теоремы 7.14 вытекает возможность продифференцировать этот интеграл по до порядка а также справедливость формулы (9.12). Утверждение доказано.

Утверждение 2. Пусть функция имеет в каждой точке х все производные до порядка включительно, причем и все абсолютно интегрируемы на и для любого при

Тогда при где — преобразование Фурье функции

Доказательство. Пусть тогда

Устремляя А к бесконечности и учитывая стремление к нулю про изводных функции получим

Согласно лемме 3 преобразование Фурье функции стремится к нулю. Поэтому

Утверждение доказано.

Утверждение 3 (равенство Планшереля). Пусть функция и ее вторая производная абсолютно интегрируемы на при Пусть функция абсолютно интегрируема на Тогда

где — преобразования Фурье функций соответственно; черта над означает комплексное сопряжение.

Доказательство. По формуле обращения причем согласно утверждению 2

Поэтому интеграл для сходится абсолютно и равномерно (относительно х) на . Умножая обе части формулы для на и интегрируя по х от —А до , получим

В силу равномерной по х на сходимости интеграла можно поменять порядок интегрирования в этой формуле справа:

где черта означает комплексное сопряжение.

Согласно оценке

и признаку Вейерштрасса интеграл в правой части (9.13) сходится равномерно по А на всей прямой. Применяя теорему 7.9, в (9.13) можно перейти к пределу при под знаком интеграла. Получим

что и требовалось доказать.

В заключение докажем теорему Котельникова, играющую важную роль в теории радиосвязи. Для этого сделаем несколько предварительных пояснений. Пусть функция определена на сегменте и периодически (с периодом 2l) продолжена на всю прямую; пусть эта функция абсолютно интегрируема на периоде. Разложим в ряд Фурье (который в случае, если удовлетворяет дополнительным условиям, сходится к ней):

Функцию называют сигналом, числа или — спектром сигнала, а величину — частотой сигнала Разложение периодической функции в ряд Фурье называют гармоническим анализом данной функции. В случае периодической функции ее спектр дискретен, т. е. состоит из не более чем счетного множества значений.

Если функция не является периодической, то ряд Фурье, как мы знаем, может быть заменен интегралом Фурье функции и

Функцию можно по-прежнему называть сигналом, а функцию — спектром сигнала (в данном случае спектр непрерывен) и А, — частотой сигнала.

На практике важной задачей является задача восстановления сигнала по спектру. Подчеркнем, что часто нет необходимости знать спектр для всех частот X, да и приборы улавливают спектр только в некотором диапазоне частот (Например, человеческое ухо улавливает сигнал в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц.)

Поэтому будем считать, что сигнал — время, — имеет финитный спектр, отличный от нуля лишь для частот

X при Таким образом, при имеем Следовательно,

Разложим на сегменте функцию в ряд Фурье:

Учитывая (9.14), получим

Подставляя эти коэффициенты в ряд для а затем интеграл (9.14), будем иметь

Таким образом, доказана следующая

Теорема 9.2 (теорема Котельникова). Для сигнала с финитным спектром справедливо соотношение

Теорема 9.2 показывает, что сигнал, описываемый функцией с финитным спектром сосредоточенным в полосе частот восстанавливается лишь по отсчетным значениям — передаваемым через равные промежутки времени