3. Равномерная сходимость на множестве.

Предположим, что функциональная последовательность

сходится на множестве пространства к предельной функции

Опеределение 1. Будем говорить, что последовательность (2.5) сходится к функции равномерно на множестве

если для любого найдется номер такой, что для всех номеров удовлетворяющих условию и для всех точек х множества справедливо неравенство

Замечание 1. В этом определении весьма существенно то, что номер зависит только от и не зависит от точек х, т. е. утверждается, что для любого найдется универсальный номер начиная с которого неравенство (2.6) справедливо сразу для всех точек х множества

Замечание 2. Отметим, что равномерная на множестве сходимость функциональной последовательности к функции эквивалентна бесконечной малости числовой последовательности каждый член которой представляет собой точную верхнюю грань функции на множестве

Замечание 3. Из определения 1 непосредственно вытекает, что если последовательность равномерно сходится к на всем множестве то равномерно сходится к и на любом подмножестве множества

Приведем пример, показывающий, что из сходимости функциональной последовательности на множестве не вытекает, вообще говоря, равномерная сходимость на этом множестве.

Обратимся к последовательности (2.3) из примера 1°, рассмотренного в было доказано, что эта последовательность сходится на всем сегменте [0, 1] к предельной функции

Докажем, что эта последовательность не сходится равномерно на [0, 1].

Рассмотрим последовательность точек принадлежащих сегменту [0, 1]. В каждой из этих точек (т. е. для каждого номера справедливы соотношения

Таким образом, для любого номера

следовательно, при неравенство (2.6) не может выполняться сразу для всех точек х сегмента [0, 1] ни при одном номере Это и означает отсутствие равномерной на сегменте [0, 1] сходимости рассматриваемой последовательности.

Отметим, что рассматриваемая последовательность (2.3) сходится к предельной функции равномерно на каждом сегменте где любое фиксированное число из интервала В самом деле, для любого выбранного 6 найдется номер начиная с которого все элементы равны нулю на всем сегменте Так как и предельная функция равна нулю на сегменте то левая часть (2.6) равна нулю на всем сегменте начиная с найденного номера Таким образом, начиная с номера неравенство (2.6) справедливо для всех х из сегмента при любом

Определение 2. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве к сумме если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве к предельной функции

Заметим, что функциональный ряд (2.4) из примера 2° сходится к сумме равномерно в круге произвольного фиксированного радиуса . В самом деле, всюду в этом круге и потому откуда в силу опенки (6.62 из § 9 гл. получаем, что всюду в указанном круге

Из последнего неравенства вытекает, что стремится к нулю при равномерно в круге а это и означает, что ряд (2.4) сходится равномерно в этом круге к сумме