3. Следствия замкнутости тригонометрической системы.

Следствие 1. Для любой кусочно непрерывной на сегменте функции справедливо равенство Парсеваля

(вытекает из теоремы 8.3).

Следствие 2. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной на сегменте функции сходится к этой функции на указанном сегменте в среднем (вытекает из теоремы 8.4 и замечания 2 к ней).

Следствие 3. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной на сегменте функции можно почленно интегрировать на этом сегменте (вытекает из предыдущего следствия и из теоремы 2.11).

Следствие 4. Если две кусочно непрерывные на сегменте функции имеют одинаковые тригонометрические ряды Фурье, то эти функции совпадают всюду на этом сегменте (вытекает из теоремы 8.6).

Следствие 5. Если тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной на сегменте функции сходится равномерно на некотором содержащемся в сегменте то он сходится на сегменте именно к функции

Доказательство. Пусть функция, к которой сходится равномерно на тригонометрический ряд Фурье функции Докажем, что всюду на сегменте Так как из равномерной сходимости на сегменте вытекает сходимость в среднем на этом сегменте (см. п. 3 § 4 гл. 2), то тригонометрический ряд Фурье функции сходится к функции на сегменте в среднем. Это означает, что для произвольного найдется номер начиная с которого частичная сумма тригонометрического ряда Фурье удовлетворяет неравенству

С другой стороны, в силу следствия 2 последовательность сходится к в среднем на всем сегменте а следовательно,

и на сегменте , т. е. для фиксированного нами произвольного найдется номер начиная с которого

Из (8.39) и (8.40) и из неравенства треугольника

вытекает, что Из этого неравенства и из произвольности следует, что а отсюда на основании первого свойства нормы заключаем, что — нулевой элемент пространства кусочно непрерывных на функций, т. е. функция, тождественно равная нулю на сегменте Следствие 5 доказано.

Замечание 1. Конечно, в следствии 5 сегмент может совпадать со всем сегментом , т. е. из равномерной сходимости ряда Фурье функции на всем сегменте следует, что этот ряд сходится на указанном сегменте именно к пункции

Замечание 2. Совершенно аналогичные следствия будут справедливы и для ряда Фурье по любой другой замкнутой ортонормированной системе в пространстве кусочно непрерывных на произвольном сегменте функций со скалярным произведением (8.1) и нормой (8.6). Примерами таких систем могут служить указанные в § 1 ортонормированные системы, связанные с полиномами Лежандра и Чебышева, а также система Хаара.