6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно гёльдеровой функции.

Определение 1. Будем называть функцию кусочно гёльдеровой на сегменте если эта функция кусочно непрерывна на сегменте и если этот сегмент при помощи конечного числа точек разбивается на частичные сегменты каждом из которых функция принадлежит классу Гёльдера с некоторым положительным показателем При этом при определении класса Гёльдера на частичном сегменте в качестве значений функции на концах сегмента следует брать предельные значения

Иными словами, область задания всякой кусочно гёльдеровой функции распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек сегментов, на каждом из которых эта функция принадлежит классу Гёльдера с некоторым положительным показателем.

Каждый этих сегментов мы будем называть участком гладкости функции.

Определение 2. Будем называть функцию кусочно гладкой на сегменте если эта функция кусочно непрерывна на сегменте и имеет на этом сегменте кусочно непрерывную производную т. е. если функция кусочно непрерывна на сегменте и ее производная существует и непрерывна всюду на этом сегменте, за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция имеет конечные правое и левое предельные значения.

Ясно, что всякая кусочно гладкая на сегменте функция является на этом сегменте кусочно гёльдеровой.

Теорема 8.15. Пусть кусочно гёльдеровая на сегменте функция периодически (с периодом 2а) продолжена на всю прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции сходится в каждой точке х прямой к значению причем сходимость этого ряда является равномерной

на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участка гладкости функции

Доказательство. Утверждение теоремы о равномерной сходимости на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участка гладкости, сразу вытекает из теоремы 8.14. Отсюда же вытекает и сходимость тригонометрического ряда Фурье функции в каждой внутренней точке участка гладкости функции Остается доказать сходимость тригонометрического ряда функции в каждой точке соединения двух участков гладкости.

Фиксируем одну из таких точек и обозначим ее через х. Тогда найдутся постоянные такие, что при любом достаточно малом положительном будет справедливо неравенство

я при любом достаточно малом отрицательном — неравенство

Обозначим через М наибольшее из чисел а через а наименьшее из чисел Тогда при в правой части каждого из неравенств (8.75) и (8.76) можно писать

Фиксируем теперь произвольное и по нему удовлетворяющее неравенству (8.70) и настолько малое, что при справедливы оба неравенства (8.75) и (8.76) и в правой части этих неравенств можно брать число Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 8.13, мы придем к равенству (8.71), и для доказательства теоремы нам остается убедиться, что в фиксированной нами точке х справедливы оценки (8.72), (8.73) и . В замечании мы отметили, что оценки (8.73) и (8.74) справедливы для любой только кусочно непрерывной и периодической (с периодом функции. Остается доказать справедливость для всех номеров оценки (8.72).

Так как

то интеграл, стоящий в левой части (8.72), можно переписать так:

Для оценки интегралов, стоящих в правой части (8.77), воспользуемся неравенствами (8.75) и (8.76), беря в правой части этих неравенств число Учитывая уже применявшуюся при доказательстве теоремы 8.13 оценку

и неравенство (8.70), будем иметь

Оценка (8.2), а с ней и теорема доказаны.

Следствие 1. Утверждение теоремы 8.15 будет тем более справедливо, если в ее формулировке вместо кусочно гёльдеровой взять кусочно гладкую (на сегменте функцию, периодически (с периодом продолженную на всю прямую.

Для формулировки еще одного следствия введем новое понятие. Пусть

Определение 3. Будем говорить, что функция удовлетворяет в данной точке х справа (слева) условию Гёльдера по , если функция имеет в точке х правое (левое) предельное значение и если существует такая постоянная М, что для всех достаточно малых положительных (отрицательных) справедливо неравенство

Очевидно, что если функция имеет в данной точке х правую (левую) производную, понимаемую как предел

то функция заведомо удовлетворяет в этой точке х справа (слева) условию Гёльдера любого порядка

Следствие 2 (условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке). Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной и периодической (с периодом функции сходился в данной точке х числовой прямой, достаточно, чтобы функция удовлетворяла в точке х справа условию Гёльдера какого-либо положительного порядка и в точке х слева условию Гёльдера какого-либо положительного порядка (и тем более достаточно, чтобы функция имела в точке х правую и левую производные).

Доказательство. Достаточно заметить, что из того, что функция f(x) удовлетворяет в точке х справа (слева) условию Гёльдера порядка (порядка вытекает существование постоянной (постоянной такой, что для всех достаточно малых положительных (отрицательных) справедливо неравенство (8.75) (неравенство Так как доказательство теоремы 8.15 использует лишь неравенства (8.75) и (8.76) и кусочную непрерывность и периодичность то утверждение следствия 2 верно.

Пример. Не вычисляя коэффициентов Фурье функции

можно утверждать, что тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится в точке к значению -у, так как функция имеет в этой точке левую производную и удовлетворяет в этой точке справа условию Гёльдера порядка