3. Признаки Даламбера и Коши.

К признакам сравнения непосредственно примыкают два весьма употребительных признака сходимости рядов с положительными членами — признаки Даламбера и Коши, которые основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, составленным из элементов геометрической прогрессии, а именно со сходящимся рядом

или с расходящимся рядом

Теорема 1.5 (признак Даламбера). I. Если для всех номеров по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо неравенство

то ряд сходится (расходится).

II. Если существует предел

то ряд сходится при и расходится при .

Теорему II обычно называют признаком Даламбера в предельной форме. В этой форме он наиболее часто используется.

Доказательство. Докажем отдельно теоремы I и II.

1) Для доказательства теоремы I положим Тогда где и мы можем переписать равенство (1.20) в виде

Так как ряд совпадающий с рядом (1.18) ((1.19)), сходится (расходится), то неравенство (1.22) на основании теоремы сравнения 1.4 гарантирует сходимость (расходимость) ряда

Теорема I доказана.

2) Докажем теперь теорему II. Если то найдется положительное число такое, что . По определению предела последовательности для указанного найдется номер такой, что при

Число играет роль в теореме 1. Ряд сходится.

Если же , то найдется положительное число такое, что . В этом случае на основании левого из неравенств (1.23) получим

Ряд расходится на основании теоремы I. Теорема 1.5 полностью доказана.

Замечание к теореме 1.5. 1) Обратим внимание на то, что в теореме 1.5 (I) неравенство (для всех начиная с некоторого) нельзя заменить на .

В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (1.13) расходится, но для этого ряда (для всех номеров )

2) Если в условиях теоремы 1.5 (II) то нельзя сказать ничего определенного о сходимости ряда (т. е. при признак Даламбера «не действует»). В самом деле, для гармонического ряда , причем этот ряд, как мы знаем, расходится. Вместе с тем для ряда

также , но этот ряд, как будет показано в следующем пункте, сходится.

Теорема 1.6 (признак Коши). I. Если для всех номеров по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо неравенство

ряд сходится (расходится).

II. Если существует предел

то ряд сходится при и расходится при

Теорему II обычно называют признаком Коши в предель ной форме.

Доказательство. Докажем отдельно теоремы I и II.

1) Для доказательства теоремы I положим Тогда из неравенства (1.25) получим

Так как ряд , совпадающий с рядом (1.18) ((1.19)), сходится (расходится), то неравенство (1.27) на основании теоремы сравнения 1.3 гарантирует сходимость (расходимость) ряда Теорема 1.6 (I) доказана.

2) Для доказательства теоремы (II) следует дословно повторить схему доказательства теоремы 1.5 (II), заменив во всех рассуждениях на Теорема 1.6 полностью доказана.

Замечания к теореме 1.6. 1) Как и в теореме 1.5 (1) в теореме 1.6 (I) неравенство нельзя заменить на

2) При признак Коши в предельной форме «не действует». Можно сослаться на два примера, указанные в соответствующем замечании к признаку Даламбера.

Примеры. 1°. Исследуем вопрос о сходимости ряда

Применим признак Даламбера в предельной форме. Имеем

На основании (1.29)

т. e. ряд (1.28) сходится.

2°. Изучим вопрос о сходимости ряда

Применим признак Коши в предельной форме. Имеем

На основании . Таким образом, признак Коши устанавливает сходимость ряда (1.30).

Возникает вопрос о том, какой из двух признаков, Даламбера или Коши, является более сильным. Проанализируем этот вопрос в отношении признаков Даламбера и Коши, взятых в предельной форме. Ниже будет доказано, что из существования предела (1.21) вытекают существование предела (1.26) и факт равенства этих пределов. Обратное неверно. В самом деле, легко убедиться в том, что для ряда

предел (1.26) существует и равен 1/2, в то время как предел (1.21) вообще не существует. Таким образом, признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера, ибо всякий раз, когда действует признак Даламбера, действует и признак Коши и вместе с тем существуют ряды (например, ряд (1.32)), для которых действует признак Коши и не действует признак Даламбера. Несмотря на это, признак Даламбера на практике употребляется чаще, чем признак Коши.

Итак, докажем

Утверждение. Из существования равного L предела (1.21) вытешет существование равного тому же L предела (1.26).

Доказательству утверждения предпошлем две леммы.

Лемма 1. Если последовательность сходится к пределу I, то к тому же пределу сходится и последовательность средних арифметических чисел

Доказательство. Так как последовательность сходится к пределу I, то для любого можно фиксировать номер такой, что для всех Используя этот факт и учитывая, что при всех

мы получим, что при всех 1.

В самом деле, модуль дроби, заключенной в фигурные скобки, не превосходит числа меньшего Далее, поскольку номер фиксирован, модуль дроби, заключенной в квадратные скобки, не превосходит при всех где — достаточно большое число. Лемма доказана.

Лемма 2. Если последовательность положительных чисел сходится к пределу то к тому же пределу сходится и последовательность средних геометрических чисел

Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу непрерывности логарифмической функции для

Но тогда по лемме 1 о пределе среднего арифметического существует предел

Из последнего равенства в силу непрерывности показательной функции получим

(Эти рассуждения справедливы и при если считать Лемма 2 доказана.

Доказательство утверждения. Применяя лемму 2 к числам мы, опираясь на существование равного L предела (1.21), установим существование равного тому же L предела (1.26).