§ 6. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА

Мы уже знаем, что

Найдем представление величины при больших значениях (так называемое асимптотическое представление). Мы докажем формулу

где величина заключена между —1 и +1. Это и есть формула Стирлинга.

Перейдем к ее доказательству. Заметим, что функция возрастает на от 0 до и убывает на от до 0. Заметим, что

а поэтому

Функция на возрастает от 0 до 1, а на убывает от 1 до 0. Поэтому можно сделать замену переменной

При этом сегменту изменения х будет отвечать полуось изменения а полуоси изменения х — полуось изменения

Для проведения замены переменной необходимо найти зтроизводную для любого дифференцируя левую и правую части по получим равенство

С другой стороны, логарифмируя равенство получим получим

Записывая для функции формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, мы получим, что найдется число 0 из интервала такое, что

и потому

Отсюда

Поэтому , следовательно,

Теперь в интеграле произведем замену переменной

Оценим интеграл Заметим, что

Учитывая, что окончательно получим

где Формула Стирлинга обоснована.

Заметим, что более детальный анализ показывает, что справедливо, например, следующее разложение:

в котором остаток не превосходит последнего удерживаемого слагаемого.