§ 6. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
Мы уже знаем, что
Найдем представление величины
при больших значениях
(так называемое асимптотическое представление). Мы докажем формулу
где величина
заключена между —1 и +1. Это и есть формула Стирлинга.
Перейдем к ее доказательству. Заметим, что функция
возрастает на
от 0 до
и убывает на
от до 0. Заметим, что
а поэтому
Функция
на
возрастает от 0 до 1, а на
убывает от 1 до 0. Поэтому можно сделать замену переменной
Оценим интеграл
Заметим, что
Учитывая, что
окончательно получим
где
Формула Стирлинга обоснована.
Заметим, что более детальный анализ показывает, что справедливо, например, следующее разложение:
в котором остаток не превосходит последнего удерживаемого слагаемого.