4. Интегральный признак Коши—Маклорена.

Признаки Даламбера и Коши оказываются непригодными для выяснения вопроса о сходимости некоторых часто встречающихся рядов с положительными членами. Так, например, с помощью этих признаков нельзя выяснить вопрос о сходимости обобщенного гармонического ряда

(а — любое вещественное число).

В конце мы установили, что при ряд (1.33) расходится, однако остается открытым вопрос о сходимости этого ряда

при В этом пункте мы установим еще один общий признак сходимости ряда с неотрицательными членами, из которого, в частности, будет вытекать сходимость ряда (1.33) при

Теорема 1.7. (признак Коши — Маклорена). Пусть функция: неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой где — любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд

сходится в том и только в том случае, когда существует предел при последовательности

Доказательство. Пусть — любой номер, удовлетворяющий условию — любое значение аргумента из сегмента -Так как по условию функция не возрастает на указанном сегменте, то для всех х из указанного сегмента; справедливы неравенства

Функция будучи ограниченной и монотонной, интегрируема на сегменте (см. п. 2 § 3 гл. 9 ч. 1). Более того, из неравенства (1.36) и из свойства б) (см. п. 2 § 4 гл. 9 ч. 1) вытекает, что

или

Эти неравенства установлены нами для любого Запишем их для значений равных где — любой: номер, превосходящий

Складывая почленно записанные неравенства, получим

Договоримся обозначать символом частичную сумму ряда (1.34), равную

Приняв это обозначение и учитывая обозначение (1.35), мы можем следующим образом переписать неравенства (1.38):

Эти неравенства позволяют без труда доказать теорему. В самом деле, из формулы (1.35) очевидно, что последовательность является неубывающей. Следовательно для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости ряда (1.34) в силу теоремы 1.2 необходима и достаточна ограниченность последовательности Из неравенств (1.39) вытекает, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность , т. е. тогда и только тогда, когда последовательность сходится. Теорема доказана.

Примеры. 1°. Прежде всего применим интегральный признак Коши—Маклорена для выяснения сходимости обобщенного гармонического ряда (1.33). Поскольку ряд (1.33) можно рассматривать как ряд вида (1.34) при и функция убывает и положительна на полупрямой вопрос о сходимости ряда (1.33) эквивалентен вопросу о сходимости последовательности где

Из вида элементов вытекает, что последовательность расходится при и сходится при причем в последнем случае Таким образом, ряд (1.33) расходится при (это мы уже установили выше другим способом) и сходится

при . В частности, при ряд (1.33) переходит в ряд (1.24), сходимость которого мы теперь можем утверждать.

2°. Исследуем вопрос о сходимости ряда

где — фиксированное положительное вещественное число. Ряд (1.40) можно рассматривать как ряд вида (1.34) при и Поскольку функция неотрицательна и невозрастает на полупрямой вопрос о сходимости ряда (1.40) эквивалентен вопросу о сходимости последовательности где

Из вида элементов вытекает, что последовательность сходится при и расходится при Таким образом, ряд (1.40) сходится при и расходится при