§ 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

1. Степенной ряд и область его сходимости.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами ряда (2.61). Постараемся выяснить, как устроена область сходимости любого степенного ряда.

Заметим, что всякий степенной ряд сходится в точке причем существуют степенные ряды, сходящиеся только в этой точке (например, ряд

Составим с помощью коэффициентов ряда (2.61) следующую числовую последовательность:

Могут представиться два случая: 1) последовательность (2.62) является неограниченной; 2) последовательность (2.62) является ограниченной.

В случае 2) у последовательности (2.62) существует конечный верхний предел (см. п. 1 § 3 гл. 3 ч. 1), который мы обозначим через Этот верхний предел L заведомо неотрицателен (так как все элементы последовательности (2.62) неотрицательны, а следовательно, и любая предельная точка этой последовательности неотрицательна).

Подводя итог, мы приходим к выводу, что могут представиться следующие три случая: I) последовательность (2.62) является неограниченной; П) последовательность (2.62) является ограниченной и имеет конечный верхний предел III) последовательность (2.62) является ограниченной и имеет верхний предел

Докажем теперь следующее замечательное утверждение.

Теорема 2.13 (теорема Коши — Адамара). I. Если последовательность (2.62) не ограничена, то степенной ряд (2.61) сходится лишь при

II. Если последовательность (2.62) ограничена и имеет верхний предел то ряд (2.61) абсолютно сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству и расходится для значений х, удовлетворяющих неравенству

III. Если последовательность (2.62) ограничена и ее верхний предел то ряд (2.61) абсолютно сходится для всех значений х.

Доказательство. I. Пусть последовательность (2.62) не ограничена. Тогда при последовательность

также не ограничена, т. е. у этой последовательности имеются члены со сколь угодно большими номерами удовлетворяющие неравенству или Но это означает, что для ряда (2.61) (при нарушено необходимое условие сходимости (см. п. 2 § 1 гл. 1), т. е. ряд (2.61) расходится при

II. Пусть последовательность (2.62) ограничена и ее верхний предел Докажем, что ряд (2.61) абсолютно сходится при и расходится при

а) Фиксируем сначала любое х, удовлетворяющее неравенств . Тогда найдется такое, что . В силу свойств верхнего предела все элементы начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству

Таким образом, начиная с этого номера , справедливо неравен» ство

т. е. ряд (2.61) абсолютно сходится по признаку Коши (см. п. 3 § 2 гл. 1).

б) Фиксируем теперь любое х, удовлетворяющее неравенству Тогда найдется такое, что По определению верхнего предела из последовательности (2.62) можно выделить подпоследовательность сходящуюся к Но это означает, что, начиная с некоторого номера справедливо неравенство

Таким образом, начиная с этого номера справедливо неравенство

или

откуда видно, что нарушено необходимое условие сходимости ряда (2.61) и этот ряд расходится.

III. Пусть последовательность (2.62) ограничена и ее верхний предел Докажем, что ряд (2.61) абсолютно сходится при любом х.

Фиксируем произвольное ряд (2.61) заведомо абсолютно сходится). Поскольку верхний предел и последовательность (2.62) не может иметь отрицательных предельных точек, число является единственной предельной точкой, а следовательно, является пределом этой последовательности, т. е. последовательность (2.62) является бесконечно малой.

Но тогда для положительного числа найдется номер, начиная с которого

Стало быть, начиная с указанного номера,

т. е. ряд (2.61) абсолютно сходится к признаку Коши (см. п. 3 § 2 гл. 1). Теорема полностью доказана.

Доказанная теорема непосредственно приводит к следующему фундаментальному утверждению.

Теорема 2.14. Для каждого степенного ряда (2.61), если он не является рядом, сходящимся лишь в точке существует положительное число (возможно, равное бесконечности) такое, что этот ряд абсолютно сходится при и расходится при

Это число называется радиусом сходимости рассматриваемого степенного ряда, а интервал называется промежутком сходимости этого ряда. Для вычисления радиуса сходимости справедлива формула

(в случае, когда ).

Замечание 1. На концах промежутка сходимости, т. е. в точках степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Так, для ряда радиус сходимости равен единице, промежуток сходимости имеет вид и этот ряд расходится на концах этого промежутка.

Для ряда V промежуток сходимости тот же но он сходится на обоих концах этого промежутка.

Замечание 2. Все результаты настоящего пункта справедливы для ряда (2.61), в котором вещественная переменная х заменена комплексной переменной Для такого ряда устанавливается существование положительного числа такого, что ряд абсолютно сходится при и расходится при

Для вычисления справедлива формула (2.63). Число называется радиусом сходимости, а область — кругом сходимости степенного ряда.