3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье.

Прежде всего докажем следующую лемму о порядке тригонометрических коэффициентов Фурье.

Лемма. Пусть функция и все ее производные до некоторого порядка — целое неотрицательное число) непрерывны на сегменте и удовлетворяют условиям

Пусть, кроме того, функция имеет на сегменте кусочно непрерывную производную порядка Тогда сходится следующий ряд:

в котором — тригонометрические коэффициенты Фурье функции

Доказательство. Обозначим через а и тригонометрические коэффициенты Фурье функции доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производной порядка функции . Интегрируя выражения для а и раз по частям и учитывая непрерывность на всем сегменте самой функции и всех ее производных до порядка а также используя соотношения (8.46), установим следующую связь между тригонометрическими коэффициентами Фурье функции и самой функции

Таким образом,

и сходимость ряда (8.47) вытекает из элементарных неравенств (8.44) и из сходимости рядов (8.45), первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно непрерывной функции а второй — в силу признака Коши—Маклорена. Лемма доказана.

Непосредственным следствием леммы 1 является следующая

Теорема 8.10. Пусть функция удовлетворяет тем же условиям, что и в лемме 1, причем Тогда тригонометрический ряд Фурье функции можно раз почленно дифференцировать на сегменте .

Доказательство. Пусть — любое из чисел 1, 2,

В результате -кратного почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье функции получается ряд

Заметим, что для всех х из сегмента как исходный тригонометрический ряд Фурье, так и ряд (8.48) (с любым мажорируются сходящимся числовым рядом (8.47). По признаку Вейерштрасса (см. теорему 2.3) как исходный тригонометрический ряд Фурье, так и каждый из рядов (8.48) (при сходятся равномерно на сегменте , а это (в силу теоремы 2.9) обеспечивает возможность -кратного почленного дифференцирования исходного ряда Фурье. Теорема доказана.