§ 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами часто встречаются в приложениях. Кроме того, их предварительное изучение облегчит изучение рядов с членами любого знака. В дальнейшем, чтобы подчеркнуть, что речь идет о ряде с неотрицательными членами, мы часто будем обозначать члены такого ряда символом вместо и.

Можно сразу же отметить основное характеристическое свойство ряда с неотрицательными членами: последовательность частичных сумм такого ряда является неубывающей. Это позволяет нам доказать следующее утверждение.

Теорема 1.2. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Необходимость следует из того, что всякая сходящаяся последовательность является ограниченной (в силу теоремы

Достаточность вытекает из того, что последовательность частичных сумм не убывает и, следовательно, для сходимости этой последовательности достаточно, чтобы она была ограничена (в силу теоремы