§ 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

1. Разложение функции в степенной ряд.

Определение 1. Будем говорить, что функция на интервале (на множестве может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сходящийся к на указанном интервале (указанном множестве).

Приведем необходимые и достаточные условия того, чтобы функция могла быть разложена в степенной ряд.

Утверждение 1. Для того чтобы функция могла быть разложена в степенной ряд на интервале необходимо, чтобы эта функция имела на указанном интервале непрерывные производные любого порядка

Действительно, степенной ряд внутри его промежутка сходимости, который во всяком случае содержит интервал можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные при этом ряды сходятся внутри того же промежутка сходимости (теорема 2.17).

Но тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным дифференцированием (в силу теоремы 2.15), представляют собой функции, непрерывные внутри указанного промежутка сходимости, а следовательно, непрерывные на интервале

Утверждение 2. Если функция может быть на интервале разложена в степенной ряд, то лишь единственным образом.

В самом деле, пусть функция может быть разложена на интервале в степенной ряд (2.61). Дифференцируя этот ряд почленно раз (что заведомо можно делать внутри интервала получим

Отсюда при найдем

или

Таким образом, коэффициенты степенного ряда (2.61), в который может быть разложена функция однозначно определяются формулой (2.66).

Предположим теперь, что функция имеет на интервале непрерывные производные любого порядка.

Определение 2. Степенной ряд (2.61), коэффициенты которого определяются формулой (2.66), называется рядом Тейлора функции

Утверждение 2 приводит нас к следующему утверждению.

Утверждение 3. Если функция может быть разложена на интервале в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора функции

Из результатов § 8 гл. 6 ч. 1 непосредственно вытекает следующее

Утверждение 4. Для того чтобы функция могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (на множестве необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена для этой функции стремился к нулю на указанном интервале (указанном множестве).