2. О перестановке членов условно сходящегося ряда.

Одним из важнейших свойств суммы конечного числа вещественных слагаемых является переместительное свойство. Естественно, возникает вопрос, остается ли справедливым это свойство для суммы сходящегося ряда, т. е. может ли измениться сумма сходящегося ряда от перестановки членов этого ряда. В этом пункте мы выясним этот вопрос в отношении условно сходящегося ряда. Начнем рассмотрение с изучения некоторой конкретной перестановки членов ряда (1.54). Для удобства запишем ряд (1.54) в виде

В конце предыдущего пункта мы доказали, что ряд (1.54) сходится условно и имеет сумму . Переставим теперь члены ряда (1.54) так, чтобы после одного положительного члена стояли два отрицательных члена. В результате такой перестановки членов получим ряд

Докажем, что ряд (1.57), полученный в результате указанной перестановки членов ряда (1.54), сходится и имеет сумму, вдвое меньшую, чем ряд (1.54). Будем обозначать частичные суммы рядов (1.54) и (1.57) символами соответственно. Можем записать:

Итак,

Далее, очевидно, что

Поскольку в пределе при из формул (1.58), (1.59) и (1.60) получим

Таким образом, ряд (1.57) сходится и имеет сумму, равную Так как то Следовательно, в результате указанной выше перестановки членов сумма условно сходящегося ряда (1.54) изменилась. Рассмотренный нами пример показывает, что условно сходящийся ряд не обладает переместительным свойством. Полную ясность в вопрос о влиянии перестановок членов на сумму условно сходящегося ряда вносит следующее замечательное утверждение, принадлежащее Риману.

Теорема 1.10 (теорема Римана). Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу

Доказательство. Пусть

произвольный условно сходящийся ряд. Обозначим через положительные члены ряда (1.61), выписанные в таком порядке, в каком они стоят в этом ряде, а через модули отрицательных членов ряда (1.61), выписанные в таком же порядке., каком они стоят в этом ряде. Ряд (1.61) содержит бесконесное

конечное число как положительных, так и отрицательных членов, ибо если бы членов одного знака было конечное число, то, отбросив не влияющее на сходимость конечное число первых членов, мы бы получили бы ряд, состоящий из членов одного знака, для которого сходимость означала бы абсолютную сходимость.

Итак, с рядом (1.61) связаны два бесконечных ряда с положительными членами Будем обозначать первый из этих рядов символом Р, а второй — символом Докажем, что оба ряда Р и являются расходящимися. Обозначим символом частичную сумму ряда (1.61), символом сумму всех положительных членов, входящих в символом сумму модулей всех отрицательных членов, входящих в Тогда, очевидно, и так как по условию ряд (1.61) сходится к некоторому числу то

С другой стороны, так как ряд (1.61) не сходится абсолютно, то

Сопоставляя (1.62) и (1.63), получим т. е. доказано, что оба ряда расходятся. Из расходимости рядов Р и вытекает, что даже после удаления любого конечного числа первых членов этих рядов, мы можем взять из оставшихся членов как ряда Р, так и ряда столь большое число членов, что их сумма превзойдет любое наперед взятое число.

Опираясь на этот факт, докажем, что можно так переставить члены исходного ряда (1.61), что в результате получится ряд, сходящийся к наперед взятому числу . В самом деле, выберем из исходного ряда (1.61) ровно столько положительных членов чтобы их сумма , превзошла Добавим к выбранным членам ровно столько отрицательных членов — чтобы общая сумма оказалась меньше Затем снова добавим ровно столько положительных членов чтобы общая сумма оказалась больше Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы получим бесконечный ряд, в состав которого войдут все члены исходного ряда (1.61), так как каждый раз нам придется добавлять хотя бы один положительный или отрицательный член исходного ряда.

Остается доказать, что полученный ряд сходится к Заметим, что в полученном ряде последовательно чередуются группы положительных

и группы отрицательных членов. Если частичная сумма полученного ряда заканчивается полностью завершенной группой, то отклонение этой частичной суммы от числа L не пре восходит модуля последнего его члена 10). Если же частичная сумма заканчивается не полностью завершенной группой, то отклонение этой частичной суммы от числа L не превосходит модуля последнего члена предпоследней из групп. Для установления сходимости ряда к L достаточно убедиться в том, что модули последних членов групп образуют бесконечно малую последовательность, а это непосредственно вытекает из необходимого условия сходимости исходного ряда (1.61). Теорема Римана доказана.

Замечание. Аналогично можно было бы доказать, что если ряд сходится условно, то его члены можно переставить так, что последовательность частичных сумм преобразованного ряда будет бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (соответственно отрицательны).