5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёльдера.

В этом и в следующем пункте мы уточним условия, обеспечивающие равномерную сходимость и сходимость в данной точке тригонометрического ряда Фурье.

Теорема 8.13. Если функция принадлежит на сегменте классу Гёльдера с каким угодно положительным казателем а и если, кроме того, то тригонометрический ряд Фурье функции сходится (к этой функции) равномерно на сегменте .

Доказательство. Как обычно, будем считать, что функция периодически (с периодом продолжена на всю числовую прямую. Условие обеспечивает принадлежность

так продолженной функции классу Гёльдера на всей числовой прямой.

Пусть х — любая точка сегмента . Умножая обе части равенства (8.56) на и вычитая полученное при этом равенство из (8.55), получим равенство

Из условия принадлежности классу Гёльдера вытекает существование постоянной М такой, что

во всяком случае для всех х и всех из сегмента .

Фиксируем произвольное и по нему удовлетворяющее неравенству

Разбивая сегмент на сумму отрезка и множества придадим равенству (8.68) следующий вид:

Для оценки первого интеграла в правой части (8.71) воспользуемся неравенством (8.69) и учтем, что

для всех из сегмента . Таким образом, для любого

номера и любого х из сегмента получим

Отсюда на основании (8.70) для любого номера и любого х из сегмента будем иметь оценку

Второй из интегралов в правой части (8.71) с помощью кусочно непрерывной на сегменте функции (8.67) записывается в виде

В силу следствия правая часть последнего равенства при сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте . Поэтому для фиксированного нами найдется номер такой, что

для всех и всех х из сегмента .

Для оценки последнего интеграла в правой части (8.71) заметим, что с помощью кусочно непрерывной функции (8.67) этот интеграл записывается в виде

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, при сходится к нулю в силу все того же следствия 4 п. 3 (достаточно применить это следствие к функции ). Учитывая также, что функция во всяком случае ограничена на сегменте , получим, что для фиксированного нами произвольного найдется номер такой, что

для всех и всех точек х из сегмента .

Обозначив через наибольший из двух номеров в силу (8.71) — (8.74) получим, что для фиксированного нами произвольного найдется номер такой, что

для всех и всех х из сегмента . Теорема доказана.

Замечание 1. Очевидно, что в условиях теоремы 8.13 тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно не только на сегменте , но и на всей прямой (к функции, являющейся периодическим (с периодом продолжением функции на всю прямую).

Замечание 2. Отметим, что при оценке интегралов (8.73) и (8.74) мы использовали лишь кусочную непрерывность (и вытекающую из нее ограниченность) функции на сегменте (принадлежность классу Гёльдера при оценке этих интегралов не использовалась).

Замечание 3. Естественно возникает вопрос о том, можно ли в теореме 8.13 ослабить требование гладкости на функцию сохраняя утверждение этой теоремы о равномерной на сегменте сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции.

Напомним, что принадлежность на сегменте классу Гёльдера по определению означает, что модуль непрерывности на этом сегменте имеет порядок

Отметим без доказательства так называемую теорему Дини — Липшица:

Для равномерной на сегменте сходимости тригонометрического ряда Фурье функции достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла условию и чтобы ее модуль непрерывности на сегменте имел порядок

т. е. является при бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем

Теорема Дини—Липшица содержит окончательное (в терминах модуля непрерывности функции) условие равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье функции, так как можно построить функцию удовлетворяющую условию с модулем непрерывности, имеющим на сегменте порядок и с тригонометрическим рядом Фурье, расходящимся на множестве точек, всюду плотном на сегменте .

В условиях теоремы 8.13 после периодического (с периодом продолжения функция оказалась принадлежащей классу Гёльдера О на всей числовой прямой. Естественно возникает вопрос о поведении тригонометрического ряда Фурье функции принадлежащей классу Гёльдера только на некотором сегменте а всюду вне этого сегмента удовлетворяющей лишь обычному требованию кусочной непрерывности. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 8.14. Пусть функция кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с периодом продолжена на всю числовую прямую. Пусть далее на некотором сегменте имеющем длину, меньшую эта функция принадлежит классу Гёльдера с произвольным положительным показателем а Тогда для любого 6 из интервала тригонометрический ряд Фурье функции сходится (к этой функции) равномерно на сегменте

Доказательство. Построим функцию которая на сегменте совпадает с на сегменте а является линейной функцией вида , обращающейся в при

и в при и которая периодически (с периодом продолжена с сегмента на всю прямую (на рис. 8.1 жирная линия изображает график функции а штриховая линия — график построенной по ней функции

Очевидно, что построенная нами функция удовлетворяет условию и принадлежит классу Гёльдера (с тем же положительным показателем а, что и на всей прямой.

Рис. 8.1

В силу теоремы 8.13 и замечания 1 тригонометрический ряд Фурье функции сходится равномерно на всей числовой прямой, а поэтому в силу теоремы 8.11 тригонометрический ряд Фурье функции при любом из интервала сходится (к этой функции) равномерно на сегменте Теорема доказана.

Замечание 4. Утверждение теоремы 8.14 остается справедливым и для сегмента имеющего длину, равную (т. е. для случая но в этом случае при доказательстве теоремы следует, фиксировав произвольное из интервала взять функцию совпадающей с на сегменте линейной на сегменте и периодически (с периодом ) продолженной с сегмента на всю числовую прямую. Если же сегмент имеет длину, превосходящую то из принадлежности классу Гёльдера на этом сегменте и из условия периодичности (с периодом вытекает, что принадлежит

классу на всей прямой, т. е. в этом случае мы приходим к теореме 8.13.