3. Применения понятия равномерного стремления к предельной функции.

Пусть множество совпадает с сегментом — предельная точка множества Рассмотрим функцию где х из а у из множества У. Сформулируем ряд утверждений, вытекающих из соответствующих утверждений для равномерно сходящихся функциональных последовательностей (см. гл. 2). Эти утверждения доказываются путем перехода к произвольной последовательности из при

Утверждение 2. Пусть функция интегрируема на при каждом фиксированном у из равномерно на стремится к при Тогда интегрируема на и справедливы равенства

Для доказательства этого утверждения достаточно применить теорему 2.8.

Утверждение 3. Если функция, непрерывна по х на при каждом фиксированном у из множества равномерно на стремится к при , то непрерывная на функция.

Для доказательства следует воспользоваться следствием 1 из теоремы 2.7.

Утверждение 4. Пусть функция непрерывна по х на при каждом фиксированном у и при стремлении у к в каждой фиксированной точке х сегмента эта функция, не возрастая (не убывая), сходится к непрерывной предельной функции Тогда стремится к равномерно на

Это утверждение является аналогом теоремы 2.4 гл. 2 (признак Дини).

При переходе к последовательности необходимо выбирать ее возрастающей и так, чтобы

Утверждение 5. Если при каждом фиксированном у из множества функции от непрерывны на и при функция стремится к а функция стремится к равномерно на то функция дифференцируема на причем

или

Для доказательства этого утверждения необходимо воспользоваться теоремой 2.9.

Утверждение 6. Пусть функция задана на прямоугольнике и непрерывна на нем. Тогда при любом из сегмента при функция стремится равномерно по х на к функции

Доказательство. Поскольку непрерывная на прямоугольнике П функция является и равномерно непрерывной на нем, то для любого числа существует такое число что для любых точек для которых справедливо неравенство

Пусть Тогда для любых у из таких, что и для любых х из выполняется неравенство

Но это и означает равномерное на стремление при Утверждение доказано.