§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Свойства двойного интеграла вполне аналогичны соответству ющим свойствам однократного определенного интеграла.

1°. Аддитивность. Если функция интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области то функция интегрируема в каждой из областей причем

Для доказательства этого свойства разобьем области на конечное число квадрируемых областей, тем самым получим разбиение области А Пусть — верхние и нижние суммы функции соответственно в областях

Так как то откуда и вытекает интегрируемость функции в каждой из областей

Справедливость соотношения (3.9) следует из того, что

Замечание. Справедливо и обратное утверждение: из интегрируемости функции в каждой из областей следует интегрируемость функций в области D и справедливость формулы (3.9).

Действительно, разбивая область D на конечное число квадри руемых частей , и вводя верхние и нижние суммы функции в областях мы получим равенства (3.10), верные с точностью до слагаемых, отвечающих тем областям которые имеют общие внутренние точки с кривой Г. Кривая Г имеет площадь нуль, функция ограничена, поэтому общая сумма этих слагаемых будет стремиться к нулю при стремлении к нулю диаметра разбиения

Вывод последующих свойств (так же, как и вывод свойства 1) вполне аналогичен выводу соответствующих свойств однократного определенного интеграла. Ограничимся формулировкой этих свойств.

2°. Линейное свойство. Пусть функции интегрируемы в области D, а и — произвольные вещественные

числа. Тогда функция также интегрируема в области D, причем

3°. Если функции интегрируемы в области и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции интегрируемы в области D и всюду в этой области то

5°. Если функция интегрируема в области D, то и функция интегрируема в области D, причем

Обратное утверждение неверно: из интегрируемости в D, вообще говоря, не вытекает интегрируемость

6°. Если функция интегрируема в области ограничена и совпадает с всюду в D, за исключением множества точек площади нуль, то и интегрируема в области D.

Т. Теорема о среднем значении. Если функции интегрируемы в области D, функция неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, то найдется число такое, что справедлива формула

Если при этом функция непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка что

8°. Геометрическое свойство. равен площади области D (см. утверждение 2 из п. 3).