2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра.

Пусть функция определена на прямоугольнике а заданные на функции отображают в сегмент .

Если при любом фиксированном у из функция интегрируема по х на сегменте то, очевидно, на определена функция

представляющая собой интеграл, зависящий от параметра у, у которого пределы интегрирования также зависят от этого параметра.

Теорема 7.5 (о непрерывности интеграла по параметру). Пусть функция непрерывна на прямоугольнике П, а функции

непрерывны на сегменте Тогда функция непрерывна на

Доказательство. Зафиксируем произвольное из сегмента Тогда в силу свойства аддитивности интеграла

Первый интеграл в правой части представляет собой интеграл, зависящий от параметра у, с постоянными пределами интегрирования. Следовательно, он является непрерывной функцией от у и поэтому при стремится к - Для двух других интегралов получаем оценки Ну)

где Из непрерывности функций а следует, что при оба эти интеграла стремятся к нулю. Таким образом, при Теорема доказана.

Докажем теперь теорему о дифференцируемости интеграла определяемого равенством

Теорема 7.6 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Пусть функция непрерывна вместе с производной на прямоугольнике П, а функции дифференцируемы на Тогда интеграл определяемый равенством (7.1, дифференцируем по у на и справедливо равенство

Доказательство. Зафиксируем произвольное и запишем соотношение

( выбрано так, что ). Так как

то

В первом слагаемом правой части этого равенства согласно теореме 7.4 можно перейти к пределу под знаком интеграла при .

Воспользуемся первой формулой среднего значения для интегралов и представим второе и третье слагаемые в виде

где заключено между числами

где заключено между числами

Из этих равенств и из непрерывности функций а получаем, что при

Таким образом, в равенстве (7.4) допустим предельный переход при и справедлива формула (7.3). Теорема доказана.