Глава 8. РЯДЫ ФУРЬЕ

Изучаемая в настоящей главе проблема разложения функции в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения вектора по базису.

Из линейной алгебры известно, что если в линейном пространстве конечной размерности выбрать некоторый базис, то любой вектор этого пространства может быть разложен по базису, т. е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Гораздо более сложными являются вопросы о выборе базиса и о разложении по базису для случая бесконечномерного пространства. В настоящей главе эти вопросы изучаются для случая евклидовых бесконечномерных пространств и для базисов специального типа (ортонормированных базисов).

Особенно подробно изучается базис, образованный в пространстве всех кусочно непрерывных на некотором сегменте функций так называемой тригонометрической системой.

§ 1. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

1. Ортонормированные системы.

Будем рассматривать произвольное евклидово пространство бесконечной размерности. Напомним, что линейное пространство называется евклидовым, если выполнены два условия:

1) известно правило, посредством которого любым двум элементам пространства ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом

2) указанное правило удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

(переместительное свойство);

(распределительное свойство);

для любого вещественного I;

если — ненулевой элемент;

если — нулевой элемент.

Напомним, далее, что линейное (и, в частности, евклидово) яространство называется бесконечномерным, если в этом пространстве найдется любое наперед взятое число линейно независимых элементов.

Приведем классический пример евклидова пространства бесконечной размерности.

Напомним, что функция называется кусочно непрерывной на сегменте если она непрерывна всюду на этом сегменте, за исключением конечного числа точек, в каждой из которых она имеет разрыв первого рода

Для линейного пространства всех кусочно непрерывных на сегменте функций естественно ввести скалярное произведение любых двух функций определив его равенством

Легко проверяется, что при таком определении справедливы первые три аксиомы скалярного произведения. Однако для тогог чтобы оказалась справедливой и четвертая аксиома, приходится принять дополнительную договоренность о том, чтобы значение кусочно непрерывной функции в каждой ее точке разрыва х,-равнялось полусумме правого и левого ее пределов в этой точке:

В самом деле, во-первых, всегда Далее, заметим, что так как кусочно непрерывна на та весь сегмент распадается на конечное число сегментов на каждом из которых функция непрерывна при условии, что в качестве значений на концах соответствующего сегмента берутся Из равенства вытекает, что для каждого сегмента справедливо равенство

Из этого равенства и из непрерывности на сегменте вытекает, что на этом сегменте . В частности, равны нулю. Так как эти рассуждения справедливы для любого сегмента т. е. для всех то правый и левый пределы в любой точке равны нулю, а отсюда в силу соотношения (8.2) и само значение в любой точке равно. Итак, функция равна нулю во всех точках сегмента , т. е. является нулевым элементом линейного пространства всех кусочно непрерывных на сегменте функций.

Тем самым мы доказали, что пространство всех кусочно непрерывных на сегменте функций с условием (8.2) в каждой точке разрыва и со скалярным произведением, определяемым соотношением (8.1), является евклидовым пространством.

Это евклидово пространство мы в дальнейшем будем обозначать символом

Напомним теперь два общих свойства любого евклидова пространства, которыми, естественно, будет обладать и пространство

1) во всяком евклидовом пространстве для любых двух элементов справедливо неравенство

называемое неравенством Коши — Буняковского;

2) во всяком евклидовом пространстве для любого элемента этого пространства можно ввести понятие нормы этого элемента, определив ее как число, обозначаемое символом и определяемое равенством

так что будут справедливы следующие три свойства:

причем лишь тогда, когда — нулевой элемент,

для любого элемента и любого вещественного X;

для любых двух элементов (это неравенство называется неравенством треугольника).

В самом деле, справедливость свойства Г сразу же вытекает из (8.4) и из аксиомы 4° скалярного произведения.

Для обоснования свойства 2° заметим, что в силу (8.4) и аксиом скалярного произведения

Наконец, справедливость свойства 3° вытекает из (8.4), из аксиом скалярного произведения и из неравенства Коши—Буняковского (8.3). Действительно,

В частности, во введенном выше евклидовом пространстве всех кусочно непрерывных на сегменте функций норма (8.4) любого элемента определяется равенством

а неравенства Коши—Буняковского (8.3) и треугольника (8.5) принимают вид

Введем теперь в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве понятия ортогональных элементов и ортонормированной системы элементов.

Определение 1. Два элемента евклидова пространства называются ортогональными, если скалярное произведение этих элементов равно нулю.

Рассмотрим в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве некоторую последовательность элементов.

Определение 2. Последовательность (8.9) называется ортонормированной системой, если входящие в эту последовательность элементы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице.

Классическим примером ортонормированной системы в пространстве всех кусочно непрерывных на сегменте функций является так называемая тригонометрическая система

Читатель легко проверит, что все функции (8.10) попарно ортогональны (в смысле скалярного произведения (8.1), взятого

при и что норма каждой из этих функций (определяемая равенством (8.6) при равна единице.

В математике и ее приложениях часто встречаются различные ортонормированные (на соответствующих множествах) системы функций. Приведем некоторые примеры таких систем.

Примеры. 1°. Многочлены, определяемые равенством

принято называть полиномами Лежандра.

Нетрудно убедиться, что образованные с помощью многочленов (8.11) функции

образуют ортонормированную (на сегменте систему функций.

2°. Многочлены, определяемые равенствами при называются полиномами Чебышева. Среди всех многочленов степени с коэффициентом при равным единице, полином Чебышева имеет наименьший на сегменте максимум модуля. Можно доказать, что полученные с помощью полиномов Чебышева функции

образуют ортонормированную на сегменте систему.

3°. В теории вероятностей часто применяется система Радемахера

где

Легко проверяется, что эта система ортонормирована на сегменте

4°. В ряде исследований по теории функций находит применение система Хаара, являющаяся ортонормированной на сегменте Элементы этой системы определяются для всех и для всех принимающих значения Они имеют вид

Каждая функция Хаара представляет собой ступеньку такого же вида, как функция сегменте Для каждого фиксированного номера при увеличении значения эта ступенька сдвигается вправо. Всюду вне соответствующей ступеньки каждая функция Хаара тождественно равна нулю.