Глава 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В этой главе будет рассмотрен вопрос об интегрировании функций, заданных на поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве а также исследуется вопрос о понятии поверхности и понятии площади поверхности.

§ 1. ПОНЯТИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ПЛОЩАДИ

1. Понятие поверхности.

Определение 1. Отображение области на плоскости на множество трехмерного пространства называется гомеомор если это отображение осуществляет взаимно однозначное соответствие между точками при котором каждая фундаментальная последовательность точек переходит в фундаментальную последовательность точек и, наоборот, каждая фундаментальная последовательность точек является образом фундаментальной последовательности точек

Определение 2. Отображение области на называется локально гомеоморфным, если у каждой точки есть окрестность, которая гомеоморфно отображается на свой образ.

Определение 3. Область на плоскости Т называется элементарной, если эта область является образом открытого круга D при гомеоморфном отображении этого круга на плоскость Т.

Определение 4. Связная область на плоскости Т называется простой, если любая точка имеет окрестность, являющуюся элементарной областью.

Определение 5. Множество точек Ф пространства называется поверхностью, если это множество является образом простой плоской области при локально гомеоморфном отображении области в пространство

В дальнейшем мы договоримся называть окрестностью точки М поверхности Ф подмножество точек Ф, принадлежащее окрестности точки М в

Пример. Пусть — простая область на плоскости (например, круг), — координаты точек — непрерывная в функция, — график этой функции. Очевидно, отображение области на задаваемое соотношениями

является гомеоморфным отображением этой области на множество а является поверхностью.

Пусть на плоскости задана простая область и для всех точек этой области определены три функции:

или, что то же самое, одна векторная функция

где — вектор с компонентами .

Будем считать выполненными следующие два требования А:

1) функции (5.1) имеют в области непрерывные частные производные первого порядка по переменным и и и;

2) всюду в области матрица

имеет ранг, равный двум.

Утверждение. При выполнении этих двух требований А множество Ф точек, определяемых уравнениями (5.1), представляет собой поверхность, т. е. является образом плоской области при локально гомеоморфном отображении в

Пусть — любая точка Ясно, что малая окрестность этой точки отображается в малую окрестность точки где (для этого достаточно, чтобы функции (5.1) являлись непрерывными в что в нашем случае заведомо выполняется).

Ясно также, что если — фундаментальная последовательность точек в малой окрестности точки то последовательность образов этих точек где также является фундаментальной в Ф. Это сразу вытекает из непрерывности функций (5.1); например, разность может быть сделана меньше произвольного числа при

Остается доказать, что при отображении, определяемом уравнениями (5.1), каждой точке множества Ф из достаточно малой окрестности точки отвечает определенная точка области из малой окрестности точки причем любой фундаментальной последовательности точек из указанной окрестности точки отвечает фундаментальная последовательность точек

Так как в каждой точке ранг матрицы (5.2) равен двум, то в этой точке отличен от нуля хотя бы один второго порядка матрицы (5.2).

Пусть это будет минор

Объединяя это условие с первым из двух требований А, придем к выводу, что для системы

в окрестности точки выполнены все условия теоремы Юнга — Ковалевского (см. § 2 гл. 13 ч. 1). Поэтому система (5.3) имеет в окрестности точки единственное непрерывное и дифференцируемое решение

Это означает, что существует гомеоморфное отображение малой окрестности точки на малую окрестность точки плоскости (В одну сторону это отображение задается непрерывными функциями (5.4), а в другую сторону — первыми двумя соотношениями (5.1), в которых функции также непрерывны; непрерывность и тех и других функций обеспечивает перевод фундаментальной последовательности в окрестности одной из точек или в фундаментальную последовательность в окрестности другой из этих точек.)

Подставляя функции (5.4) в третью функцию (5.1), получим; непрерывную в окрестности точки функцию

Эта функция осуществляет гомеоморфное отображение малой окрестности точки плоскости на малую окрестность точки Можно сказать, что (5.5) проектирует Ф в малой окрестности точки на плоскость

Так как суперпозиция гомеоморфных отображений представляет собой снова гомеоморфное отображение, то гомеоморфно и отображение малой окрестности точки на малую окрестность точки

Таким образом, множество Ф точек, определяемых уравнения при выполнении этих требований А представляет собой поверхность.

Замечание 1. Поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.1), при выполнении первого из двух требований А принято называть гладкой, а при выполнении второго из требований А — не имеющей особых точек.

Итак, можно сказать, что поверхность Ф, определяемая уравнениями (5.1), при выполнении этих требований А, является гладкой и не имеет особых точек.

Замечание 2. Попутно мы установили, что гладкая без особых точек поверхность в достаточно малой окрестности каждой из своих точек однозначно проектируется хотя бы на одну из трех координатных плоскостей.

Рассмотрим поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.1), для которых выполнены два требования А.

Записав уравнения (5.1) в векторном виде (5.1), выясним геометрический смысл векторной функции Если фиксировать некоторое значение из области то уравнение будет определять кривую на поверхности Ф, называемую координатной линией, а вектор -(и, будет являться касательным к этой линии. Аналогично при уравнение будет определять другую координатную линию, а вектор будет касательным к этой линии. Через точку где будут проходить обе указанные линии.

Второе условие требований А, говорящее о том, что ранг матрицы (5.2) равен двум, т. е. условие отсутствия особых точек, означает, что векторы компоненты которых составляют строки матрицы (5.2), являются линейно независимыми, т. е. неколлинеарными. Это означает, что эти два вектора определяют плоскость, которая является касательной плоскостью к поверхности Ф в точке Нормальный вектор этой касательной плоскости называется вектором нормали (или нормалью) к поверхности Ф в точке Этот вектор - может быть определен как векторное произведение векторов - Таким образом, вектор

представляет собой вектор единичной нормали к поверхности Ф. В силу требований, наложенных на функции (5.1), этот вектор непрерывен по и и в некоторой окрестности произвольной

точки поверхности. В этом случае говорят, что в окрестности любой точки гладкой поверхности без особых точек существует непрерывное векторное поле нормалей.

В целом на всей поверхности такого непрерывного поля нормалей может и не существовать.

Пример. Лист Мёбиуса. Если склеить прямоугольник . А так, чтобы А совпала с В, а В совпала с А, получится поверхность, называемая листом Мёбиуса. При обходе по листу Мёбиуса нормаль меняет направление на противоположное (см. рис. 5.1).

В дальнейшем будем рассматривать только такие поверхности Ф, на которых в целом существует непрерывное поле нормалей. Такие поверхности принято называть двусторонними.

Поверхность Ф называется полной, если любая фундаментальная последовательность точек этой поверхности сходится к точке этой поверхности.

Рис. 5.1

Поверхность Ф называется ограниченной, если существует трехмерный шар, содержащий все точки этой поверхности.

Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид — примеры полных поверхностей. При этом сфера и эллипсоид — ограниченные поверхности. Круг без границы, любое открытое связное множество» на сфере — неполные поверхности.

В дальнейшем мы будем рассматривать поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.1) и удовлетворяющую пяти требованиям: она должна быть 1) гладкой, 2) без особых точек, 3) двусторонней, 4) полной и 5) ограниченной.