Глава 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Если функция задана на всей числовой прямой или на полупрямой и не является периодической ни с каким периодом, то эту функцию естественно раскладывать не в тригонометрический ряд Фурье, изученный в предыдущей главе, а в так называемый интеграл Фурье. Изучению такого разложения и посвящена настоящая глава.

Приведем сначала некоторые наводящие соображения. Пусть периодическая с периодом 21 и первоначально заданная на сегменте функция разложена в ряд Фурье:

где

Формально подставив выражения для в разложение функции f(x), получим

или

Предположим, что функция абсолютно интегрируема на всей прямой, т. е. сходится несобственный интеграл , и перейдем чисто формально в равенстве для к пределу при . При этом первое слагаемое правой части равенства стремится к нулю, а второе слагаемое можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла от функции

если положить

Поэтому формальный предельный переход приводит к равенству

Это равенство и называется формулой Фурье.

Если положить

то формулу Фурье можно записать в виде

Перейдем теперь к строгому изложению теории преобразования Фурье.