3. Формула Стокса.

Основная теорема. Пусть — произвольный сингулярный куб, содержащийся в и пусть Справедлива формула Стокса

Докажем эту формулу сначала в следующем частном случае:

Пусть — дифференциальная форма степени определенная в Тогда справедливо равенство

Доказательство. Пусть По определению

Вычислим следующий интеграл:

Рассмотрим каноническое отображение силу результатов имеем

По определению канонического отображения якобиан имеет вид

Таким образом, отличными от нуля могут быть только интегралы по , и мы получаем

По определению интеграла по кубу

С другой стороны,

Следовательно,

Равенство (6.1.19) доказано.

Доказательство теоремы Стокса. По определению интеграла по сингулярному кубу

В силу свойства 2° дифференцируемых отображений (см. п. 2 § 3)

Далее воспользуемся уже доказанной формулой Стокса для куба

Остается заметить, что по свойству интегралов по границе сингулярного куба (см. утверждение п. 2)

Теорема полностью доказана.