§ 2. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Определение. Кривая L называется гладкой, если функции из определяющих ее параметрических уравнений (4.1) имеют на сегменте непрерывные производные (т. е. производные непрерывны в интервале и обладают конечными предельными значениями в точке а справа и в точке слева).

Напомним, что в гл. 13 ч. 1 мы договорились называть особыми точками кривой L точки, соответствующие тому значению параметра из для которого производные обращаются в нуль. Те точки кривой для которых мы назвали обыкновенными точками.

Теорема 4.1. Если кривая является гладкой и не содержит особых точек и если функции непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы (4.41) и (4.42) существуют и могут быть вычислены по следующим формулам, сводящим эти криволинейные интегралы к обычным определенным интегралам:

Доказательство. Прежде всего отметим, что определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.51), (4.52), (4.53), существуют, ибо при сделанных нами предположениях подынтегральные функции в каждом из этих интегралов непрерывны на сегменте

Отметим также, что вывод соотношений (4.52) и (4.53) для криволинейных интегралов второго рода вполне аналогичен, поэтому мы будем выводить только соотношения (4.51) и (4.52) и доказывать существование интегралов (4.41) и (4.42).

Как и в § 1, разобьем сегмент на частичных сегментов и составим интегральные суммы (4.31), (4.32). Учитывая соотношение (4.2) и соотношение

представим интегральные суммы (4.31) и (4.32) в следующем виде:

Обозначим определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.51) и (4.52), соответственно через и представим эти интегралы по сегменту в виде суммы интегралов по частичным сегментам

Рассмотрим и оценим разности

При сделанных нами предположениях о функциях и функциях (4.1) функции как сложные функции аргумента непрерывны на сегменте а следовательно, и равномерно непрерывны на этом сегменте.

Заметим теперь, что при стремлении к нулю диаметра разбиения А кривой L стремится к нулю и наибольшая из разностей

Действительно, так как функции непрерывны на и не обращаются в нуль одновременно, то

(мы учли формулу (4.2) для длины

Таким образом, для любого можно указать такое, что при фигурная скобка в формуле (4.61) по модулю меньше , где — длина кривой а фигурная скобка в (4.62) по модулю меньше где

Полагая, что диаметр разбиения меньше 6, получим для разностей (4.61), (4.62) следующие оценки:

Итак, мы доказали, что интегральные суммы при имеют пределы, соответственно равные Таким образом, доказано существование криволинейных интегралов (4.41), (4.4 и справедливость для них формул (4.51), (4.52) соответственно. Отметим, что при выводе формулы (4.52) мы не использовали условия непрерывности функции . Теорема доказана.

Замечание 1. Будем называть кривую L кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В случае кусочно гладкой кривой L криволинейные интегралы по этой кривой естественно определить как суммы соответствующих криволинейных интегралов

по всем гладким частям, составляющим кривую При этом равенства (4.51), (4.52), (4.53) будут справедливы и для кусочно гладкой кривой . Эти равенства справедливы и в случае, когда функции являются лишь кусочно непрерывными вдоль кривой L (т. е. когда кривая L распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, вдоль каждого из которых указанные функции непрерывны).

Замечание 2. Аналогичные результаты и формулы справедливы и для криволинейных интегралов, взятых по пространственной кривой

Так, формулы для вычисления этих интегралов имеют следующий вид:

Замечание 3. Выше было отмечено, что криволинейный интеграл второго рода зависит от направления обхода кривой . Поэтому следует договориться о том, что мы будем понимать под символом

в случае, когда L — замкнутая кривая (т. е. когда точка В совпадает с точкой А).

Из двух возможных направлений обхода замкнутого контура L назовем положительным то направление обхода, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается по левую сторону по отношению к точке, совершающей обход (т. е. направление движения «против часовой стрелки»).

Будем считать, что в интеграле (4.7) по замкнутому контуру L этот контур всегда обходится в положительном направлении.

В случае, когда необходимо подчеркнуть, что контур L замкнут,

будем использовать следующую форму записи интеграла (4.7):

Замечание 4. Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные интегралы (доказательства аналогичны изложенным в § 4 гл. 9 ч. 1). Отметим, что при более жестких предположениях указанные свойства сразу вытекают из формул (4.51), (4.52), (4.53). Перечислим эти свойства применительно к криволинейным интегралам первого рода.

1°. Линейное свойство. Если для функций существуют криволинейные интегралы по кривой и если а и — любые постоянные, то для функции также существует криволинейный интеграл по кривой причем

2°. Аддитивность. Если дуга составлена из двух дуг не имеющих общих внутренних точек, и если для функции существует криволинейный интеграл по дуге то для этой функции существует криволинейный интеграл по каждой из дуг причем

3°. Оценка модуля интеграла. Если существует криволинейный интеграл по кривой А В от функции то существует и криволинейный интеграл по кривой от функции , причем

4°. Формула среднего значения. Если функция непрерывна вдоль кривой то на этой кривой найдется точка М такая, что

где — длина кривой

Замечание 5. В полной аналогии с изложенной здесь теорией криволинейного интеграла на плоскости строится теория криволинейного интеграла в пространстве

Примеры. 1°. Найти длину дуги пространственной кривой определяемой параметрическими уравнениями

Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода С помощью формулы для вычисления криволинейного интеграла первого рода, приведенной в замечании 2, получим

2°. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

в котором — часть эллипса Указанную кривую можно задать параметрическими уравнениями

Поэтому с помощью формул (4.52), (4.53) получим

Отметим, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции

Как будет доказано в гл. 6, из этого факта следует, что интеграл не зависит от кусочно гладкого пути интегрирования, соединяющего точки А и В (рассмотренная часть эллипса — лишь одна из таких кривых), и равен разности