3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций.

В этом пункте мы выясним связь между сходимостью и абсолютной сходимостью кратных несобственных интегралов. При этом, как и в одномерном случае, несобственный интеграл будем называть абсолютно сходящимся, если сходится интеграл Кратные несобственные интегралы в отличие от одномерного случая обладают тем свойством, что из обычной

сходимости несобственного кратного интеграла вытекает его абсолютная сходимость.

Теорема 3.12. Для несобственных -кратных интегралов при понятия сходимости и абсолютной сходимости эквивалентны.

Доказательство. 1) Докажем, что из абсолютной сходимости кратного несобственного интеграла в области D следует его обычная сходимость в этой области. Рассмотрим две неотрицательные функции

Представим их в виде

и отметим следующие соотношения, непосредственно вытекающие из определения этих функций:

Из интегрируемости в собственном смысле функции по любой кубируемой подобласти области D вытекает интегрируемость по любой такой подобласти функции а следовательно, и функций (что следует из формул Используя сходимость интеграла только что указанное свойство функций неравенства (3.67) и теорему 3.11, убеждаемся в сходимости несобственных интегралов Из определения несобственного интеграла следует, что если сходится несобственный интеграл по области D от каждой из функций то сходятся интегралы от суммы и разности этих функций. Из первого соотношения (3.68) следует сходимость интеграла Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть кратный несобственный интеграл сходится. Докажем, что он сходится абсолютно. Допустим, что это утверждение неверно. Тогда из теоремы 3.10 вытекает, что

последовательность интегралов от функции по любой монотонно исчерпывающей область D последовательности кубируемых областей будет монотонно возрастающей бесконечно большой последовательностью. В частности, последовательность можно выбрать так, что для любого выполняется неравенство

(достаточно взять любую последовательность и «проредить» ее, отбросив те области, для которых неравенство (3.69) не выполняется). Обозначим через множество Тогда из (3.69) получим, что для любого

Из второго соотношения (3.68) следует, что

Фиксируем произвольный номер Пусть для этого из двух интегралов в правой части (3.71) большим будет первый. Тогда из соотношений (3.70) и (3.71) получим

Разобьем область на конечное число областей так, чтобы нижняя сумма функции для этого разбиения удовлетворяла неравенству

Тогда, заменив в левой части (3.72) интеграл нижней суммой, получим следующее неравенство:

Так как то оставим в сумме лишь те слагаемые, для которых Объединение областей соответствующих оставшимся в сумме слагаемым, обозначим через . В области функция положительна, поэтому в этой области (см. (3.66)). Следовательно, получаем неравенство

Обозначим через объединение Тогда, складывая неравенство (3.74) с неравенством

заведомо справедливым для фиксированного нами получим

Если для фиксированного нами номера из двух интегралов в правой части (3.71) большим (или равным первому) будег второй, то, проделав аналогичные преобразования, учитывая, что в области получим неравенство

Из соотношений (3.75) и (3.76) следует, что для любого

Последовательность областей удовлетворяет всем условиям определения 1, кроме, быть может, условия связности областей (связность областей могла быть нарушена при отбрасывании из тех областей на которых точная нижняя грань равна нулю). Малой деформацией сделаем области связными

Соединим каждую область из с областью -мерной кубируемой связной областью (которую будем называть

связкой или каналом) так, чтобы полученное множество стало связным. Поскольку число областей конечно, то и число каналов конечно. Обозначим объединение всех каналов через Наложим ограничение на -мерный объем каналов.

Так как функция интегрируема, а следовательно, и ограничена на то

где Потребуем, чтобы -мерный объем каналов удовлетворял условию Тогда

Из неравенства (3.77) и (3.78) получаем для любого неравенство

Последовательность связных кубируемых областей монотонно исчерпывает область Из неравенства (3.79) следует, что последовательность интегралов в левой части этого неравенства расходится, т. е. несобственный интеграл расходится. Но по условию теоремы этот интеграл сходится. Полученное противоречие доказывает справедливость нашего утверждения. Теорема полностью доказана.