2. Дифференцируемые цепи.

Нам понадобятся поверхности, которые распадаются на несколько кусков, каждый из которых является образом некоторого -мерного куба. Примером такой поверхности может служить состоящая из двух окружностей граница кольца, лежащего на двумерной плоскости. При этом мы будем различать ориентации этих окружностей. В связи с этим весьма полезным оказывается введение линейных комбинаций сингулярных кубов с вещественными коэффициентами.

Определение 1. Будем называть -мерной цепью С произвольный набор

где вещественные числа, -мерные сингулярные кубы. При этом будем использовать обозначение

Будем говорить, что С принадлежит если все принадлежат

Множество -мерных цепей образует линейное пространство, если ввести естественным образом операции сложения и умножения на вещественные числа.

Определение 2. Интегралом формы по -мерной цепи С, содержащейся в назовем величину

Теперь можно определить границу произвольного сингулярного куба. Для этого определим сначала границу единичного куба.

Определение 3. Границей куба назовем -мерную цепь

где — пересечение куба с гиперплоскостью

Для того чтобы это определение было корректным, необходимо разъяснить, какой смысл вкладывается в утверждение о том, что является -мерным сингулярным кубом.

Построим каноническое отображение куба на куб Пусть Положим

Очевидно, отображает на взаимно однозначно. В частности, при отображение является сужением на тождественного отображения пространства на себя.

Определение 4. Границей -мерного сингулярного куба назовем -мерную цепь

Таким образом, граница образа куба является образом границы с естественной ориентацией.

Примеры. Г. Рассмотрим на плоскости квадрат Р. Очевидно, этот квадрат можно рассматривать как сингулярный куб, взяв в качестве тождественное отображение. На рис. 6.5 указана граница этого квадрата, причем если сторона квадрата входит в цепь со знаком то направление стрелок совпадает с направлением возрастания параметра по которому производится интегрирование; если же сторона берется со знаком то направление стрелок является противоположным направлению возрастания параметра

Рис. 6.5

Рис. 6.6

Таким образом, наше со глашение о знаках приводит к обычному обходу границы против часовой стрелки.

2°. Рассмотрим сингулярный куб где имеет вид

Легко видеть, что — кольцо, граница которого образована окружностями радиусов а и Выясним, что является границей сингулярного куба С. Очевидно, — окружность

Далее, — окружность радиуса Наконец, — это отрезок

На рис. 6.6 стрелками указано направление обхода границы если обход границы совершается против часовой стрелки.

Поскольку то можно считать, что

а это совпадает с обычным пониманием границы кольца.

Выясним, каким образом связаны интегралы от формы по границе куба С и формы по границе

Утверждение. Пусть — произвольный сингулярный куб, содержащийся в и пусть Справедливо равенство

Доказательство. Очевидно, в силу определения интеграла по цепи достаточно доказать равенство

Рассмотрим каноническое отображение определению

В силу свойства 3° дифференцируемых отображений (см. п. 2 § 3) имеем

Таким образом,

поскольку .