§ 4. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ

1. Почленное интегрирование.

Докажем следующую основную теорему.

Теорема 2.8. Если функциональная последовательность сходится к предельной функции равномерно на сегменте и если каждая функция интегрируема на сегменте то и предельная функция интегрируема на этом сегменте, причем указанную последовательность можно интегрировать на сегменте почленно, т. е. предел

существует и равен

Доказательство. Сначала докажем, что предельная функция интегрируема на сегменте

Фиксируем произвольное Достаточно доказать, что для предельной функции найдется хотя бы одно разбиение сегмента для верхней суммы и нижней суммы которого справедливо неравенство (см. п. 1 § 3 гл. 9 ч. 1).

Для этого достаточно доказать, что для фиксированного нами произвольного найдется такой номер что для любого разбиения сегмента верхняя сумма 5 и нижняя сумма и верхняя сумма и нижняя сумма функции связаны неравенством

(В самом деле, если для любого разбиения будет доказана справедливость для некоторого номера неравенства (2.37), то в силу интегрируемости на функции разбиение можно выбрать так, что будет справедливо неравенство из которого в силу (2.37) следует что и завершает доказательство интегрируемости на функции Рассмотрим произвольное разбиение сегмента и обозначим символом колебание на частичном сегменте функции а символом колебание на том же частичном сегменте предельной функции

Неравенство (2.37) будет доказано, если мы установим, что для достаточно большого номера справедливо неравенство

(В самом деле, умножая (2.38) на длину частичного сегмента и суммируя получающееся при этом неравенство по всем получим неравенство

Установим для любого частичного сегмента и для любого достаточно большого номера справедливость неравенства (2.38). Для любого номера и любых двух точек сегмента справедливо тождество

из которого вытекает неравенство

В силу равномерной на сегменте сходимости последовательности к функции для фиксированного нами произвольного найдется номер такой, что для всех точек х сегмента

Используя в правой части (2.39) неравенство (2.40), взятое для точки и для точки получим из (2.39)

(для выбранного нами достаточно большого номера и для любых двух точек сегмента

Так как при любом расположении точек на сегменте справедливо неравенство

то из (2.41) получим

Заметим, что неравенство (2.42) справедливо при любом расположении точек на частичном сегменте

Обозначая точную верхнюю и точную нижнюю грани функции на указанном частичном сегменте соответственно через в силу определения точных граней найдем две последовательности

точек сегмента такие, что

В силу (2.42) для любого номера

Переходя в неравенстве (2.43) к пределу при и замечая, что предел левой части (2.43) равен получим в пределе из (2.43) требуемое неравенство (2.38).

Таким образом, доказательство интегрируемости предельной функции на сегменте завершено.

Заметим, что если бы мы в условиях теоремы 2.8 дополнительно потребовали непрерывности каждой функции на сегменте (что делается в большинстве учебников по математическому анализу), то доказательство интегрируемостй предельной функции на сегменте стало бы совсем тривиальным: в силу следствия 2 из теоремы 2.7 при таком дополнительном требовании предельная функция являлась бы непрерывной на сегменте а потому и интегрируемой на этом сегменте.

Остается доказать второе утверждение теоремы 2.8 о том, что интегрирование последовательности на сегменте можно производить почленно. Достаточно доказать, что для любого найдется номер такой, что для всех

Но это вытекает из того, что в силу равномерной сходимости на сегменте существует номер такой, что для всех из сегмента и для всех номеров удовлетворяющих условию

Из неравенства (2.44) и из известных оценок из теории определенного интеграла 5) получим

Доказательство теоремы 2.8 полностью завершено.

Приведем формулировку теоремы 2.8 в терминах функциональных рядов:

Теорема 2.8. Если функциональный ряд

сходится к своей сумме равномерно на сегменте и если каждый член этого ряда представляет собой функцию, интегрируемую на сегменте то и сумма интегрируема на сегменте причем указанный ряд можно интегрировать на сегменте почленно, т. е. можно утверждать, что числовой ряд

сходится и имеет своей суммой

Замечание. В следующей главе будет указан аналог теоремы 2.8 (см. теорему 3.9) для случая, когда функциональная последовательность определена и интегрируема в некоторой области -мерного евклидова пространства