4. Общее определение двойного интеграла.

Пусть D — замкнунутая ограниченная область с границей Г площади нуль. Разобьем область D при помощи конечного числа произвольных кривых площади нуль на конечное число (не обязательно связных) замкнутых частичных областей Каждая область имеет границу площади нуль и потому квадрируема. Обозначим площадь области символом . В каждой области выберем произвольную точку

Определение 1. Число

называется интегрально и суммой функции соответствующей данному разбиению области D на частичные области и данному выбору промежуточных точек Р; в частичных областях.

Назовем диаметром области А число

— расстояние между точками Диаметром разбиения области D назовем число

Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм (3.3) при если для любого положительного числа можно указать такое положительное число 6, что при независимо от выбора точек в частичных областях выполняется неравенство

Определение 3 (общее определение интегрируемости), Функция называется интегрируемой (по Рима ну) в области D, если существует конечный предел I интегральных сумм а этой функции при Этот предел I называется двойным интегралом от функции по области D.

Докажем следующую фундаментальную теорему.

Теорема 3.5. Общее определение интегрируемости эквивалентно определению, данному в п. 3.

Доказательство. 1) Пусть функция интегрируема в области D согласно общему определению интегрируемости и ее двойной интеграл согласно этому определению равен Заключим D в прямоугольник разобьем его на частичные прямоугольники и введем на функцию по правилу (3.2). Рассмотрим интегральную сумму (3.3) о функции и интегральную сумму (3.1) о функции Эти суммы могут отличаться друг от друга лишь слагаемыми, соответствующими частичным прямоугольникам разбиения, имеющим общие точки с границей Г области D. Поскольку Г имеет площадь нуль, а функция ограничена, то эта функция интегрируема и согласно определению п. 3. По этому же определению она имеет тот же самый двойной интеграл

2) Пусть функция интегрируема в области D согласно определению — двойной интеграл от по области D согласно этому определению. Докажем, что для функции существует равный предел интегральных сумм о при

Составим для данного разбиения области D верхнюю и нижнюю суммы

(здесь Так как для любого разбиения (при любом выборе промежуточных точек в интегральной сумме )

то достаточно доказать, что обе суммы стремятся к I при для любого найдется такое, что каждая из сумм отклоняется от I меньше чем на при

Фиксируем произвольное . В силу теоремы 3.1 и утверждения 1 для этого найдется разбиение Т прямоугольника на частичные прямоугольники такое, что для него

где

Заключим все отрезки прямых, производящих разбиение Т, и границу Г области D строго внутрь элементарной фигуры площадь которой меньше числа . Тогда заведомо существует положительная точная нижняя грань расстояния между двумя точками, одна из которых принадлежит границе фигуры а другая — отрезкам прямых, производящим разбиение Т, или границе Г области D. Построение фигуры может быть проведено по схеме, предложенной при обосновании утверждения 1 в п. 3.

Докажем, что для сумм любого разбиения области D, удовлетворяющего условию справедливы неравенства

Докажем первое неравенство (3.5) (второе неравенство доказывается аналогично).

Удалим из суммы 3 все слагаемые соответствующие областям каждая из которых не лежит целиком в одном частичном прямоугольнике разбиения Т. Все такие области (так как ), а поэтому общая сумма площадей таких областей меньше числа

Следовательно, сумма всех удаленных слагаемых меньше числа и справедлива оценка

где штрих обозначает, что сумма распространена лишь на области каждая из которых целиком содержится в одном из прямоугольников разбиения Т.

Заменим теперь в правой части (3.6) точные грани в областях содержащихся в частичном прямоугольнике точной верхней гранью в прямоугольнике Введем обозначение и через обозначим площадь области Тогда получим

Для прямоугольников области поэтому для них

для прямоугольников пересекающихся с Г,

и, следовательно,

т. е.

Из последнего неравенства и из неравенства (3.7) получаем, что

и первое неравенство (3.5) доказано. Второе неравенство (3.5) доказывается аналогично.

Из (3.5) получим

Так как в силу (3.4) каждая из сумм отклоняется от I меньше чем на то каждая из сумм в силу (3.8) отклоняется от I меньше чем на е. Теорема доказана.