2. Понятие об общем ряде Фурье.

Пусть в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве задана произвольная ортонормированная система элементов Рассмотрим какой угодно элемент пространства

Определение 1. Назовем рядом Фурье элемента по ортонормированной системе ряд вида

в котором через обозначены постоянные числа, называемые коэффициентами Фурье элемента и определяемые равенствами

Естественно назвать конечную сумму

частичной суммой ряда Фурье (8.12).

Рассмотрим наряду с частичной суммой (8.13) произвольную линейную комбинацию первых элементов ортонормированной системы

с какими угодно постоянными числами

Выясним, что отличает частичную сумму ряда Фурье (8.13) от всех других сумм (8.14).

Договоримся называть величину отклонением от (по норме данного евклидова пространства).

Имеет место следующая основная теорема.

Теорема 8.1. Среди всех сумм вида (8.14) наименьшее отклонение от элемента по норме данного евклидова пространства имеет частичная сумма (8.13) ряда Фурье элемента

Доказательство. Учитывая ортонормированность системы и пользуясь аксиомами скалярного произведения, можем записать:

Итак,

В левой части (8.15) стоит квадрат отклонения суммы элемента (по норме данного евклидова пространства). Из вида правой части (8.15), следует, что указанный квадрат отклонения является наименьшим при (так как при этом в правой части (8.15) первая сумма обращается в нуль, а остальные слагаемые от не зависят). Теорема доказана.

Следствие 1. Для произвольного элемента данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы при произвольном выборе постоянных для любого номера справедливо неравенство

Неравенство (8.16) является непосредственным следствием тождества (8.15).

Следствие 2. Для произвольного элемента данного евклидова пространства, любой ортонормированной системы и любого номера справедливо равенство

часто называемое тождеством Бесселя.

Для доказательства равенства (8.17) достаточно положить в (8.15) .

Теорема 8.2. Для любого элемента данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы справедливо следующее неравенство:

называемое неравенством Бесселя.

Доказательство. Из неотрицательности левой части (8.17) следует, что для любого номера

Но это означает, что ряд из неотрицательных членов, стоящий в левой части (8.18), обладает ограниченной последовательностью частичных сумм и поэтому сходится. Переходя в неравенстве (8.19) к пределу при (см. теорему 3.13 ч. 1), получим неравенство (8.18). Теорема доказана.

В качестве примера обратимся к пространству всех кусочно непрерывных на сегменте функций и в этом пространстве к ряду Фурье по тригонометрической системе (8.10) (этот ряд принято называть тригонометрическим рядом Фурье). Для любой кусочно непрерывной на сегменте функции указанный ряд Фурье имеет вид

где коэффициенты Фурье определяются формулами

Неравенство Бесселя, справедливое для любой кусочно непрерывной на сегменте функции имеет вид

Отклонение от но норме в этом случае равно так называемому среднему квадратичному отклонению

Отметим, что в теории тригонометрических рядов Фурье принята несколько иная форма записи как самого ряда Фурье (8.20), так неравенства Бесселя (8.21), а именно: тригонометрический ряд Фурье (8.20) обычно записывают в виде

где

При такой форме записи неравенство Бесселя (8.21) принимает вид

Замечание. Из неравенства Бесселя (8.21) вытекает, что для любой кусочно непрерывной на сегменте функции величины (называемые тригонометрическими коэффициентами Фурье функции стремятся к нулю при (в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части (8.21)).